ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 861 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть числа арифметической прогрессии: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\).
\(a_1 + a_2 + a_3 = 21\)
Пусть \(a_2 = 7\), тогда \(a_1 = 7 — d\), \(a_3 = 7 + d\).
После прибавления: \(b_1 = 9 — d\), \(b_2 = 10\), \(b_3 = 16 + d\).
По свойству геометрической прогрессии:
\(10^2 = (9 — d)(16 + d)\)
\(100 = 144 + 7d — d^2\)
\(-d^2 + 7d + 44 = 0\)
\(d^2 — 7d — 44 = 0\)
\(d = \frac{7 \pm 15}{2}\)
\(d_1 = 11\), \(d_2 = -4\)
Положительные числа:
\(a_1 = 7 — (-4) = 11\)
\(a_2 = 7\)
\(a_3 = 7 + (-4) = 3\)
Ответ: \(3;\ 7;\ 11\)

1. Пусть три числа арифметической прогрессии: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). По условию задачи их сумма равна 21, то есть \(a_1 + a_2 + a_3 = 21\).

2. Пусть разность прогрессии равна \(d\). Тогда средний член \(a_2\) можно выразить через крайние: \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\). Но удобнее записать члены так: \(a_1 = a_2 — d\), \(a_3 = a_2 + d\).

3. Подставим выражения для \(a_1\) и \(a_3\) в сумму: \((a_2 — d) + a_2 + (a_2 + d) = 21\). Получаем: \(3a_2 = 21\), значит \(a_2 = 7\).

4. Теперь запишем все числа: \(a_1 = 7 — d\), \(a_2 = 7\), \(a_3 = 7 + d\).

5. После прибавления к первому числу 2, ко второму 3, к третьему 9, получаем новую тройку: \(b_1 = a_1 + 2 = 9 — d\), \(b_2 = a_2 + 3 = 10\), \(b_3 = a_3 + 9 = 16 + d\).

6. Эти три числа составляют геометрическую прогрессию, значит средний член в квадрате равен произведению крайних: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим значения: \(10^2 = (9 — d)(16 + d)\).

7. Раскроем скобки: \(100 = 9 \cdot 16 + 9d — 16d — d^2 = 144 — 7d — d^2\).

8. Переносим всё в одну сторону: \(100 — 144 + 7d + d^2 = 0\), то есть \(-44 + 7d + d^2 = 0\), или \(d^2 + 7d — 44 = 0\).

9. Решим квадратное уравнение: \(d^2 + 7d — 44 = 0\). Найдём дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225\).

10. Корни: \(d = \frac{-7 \pm 15}{2}\). Получаем два значения: \(d_1 = \frac{-7 + 15}{2} = 4\), \(d_2 = \frac{-7 — 15}{2} = -11\).

11. Проверим, чтобы числа были положительными. Если \(d = -4\): \(a_1 = 7 — (-4) = 11\), \(a_2 = 7\), \(a_3 = 7 + (-4) = 3\). Если \(d = 11\), то \(a_1 = 7 — 11 = -4\) — не подходит.

12. Значит, искомые числа: \(3;\ 7;\ 11\).