ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 862 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть числа арифметической прогрессии: \(a_1, a_2, a_3\).
\(a_1 + a_2 + a_3 = 30\)
Пусть \(a_2 = 10\), тогда \(a_1 = 10 — d\), \(a_3 = 10 + d\).
Из условия: \(a_1 — 5, a_2 — 4, a_3\) — геометрическая прогрессия.
\(a_1 — 5 = 5 — d\), \(a_2 — 4 = 6\), \(a_3 = 10 + d\)
Для геометрической прогрессии:
\(6^{2} = (5 — d)(10 + d)\)
\(36 = 50 — 5d — d^{2}\)
\(d^{2} + 5d — 14 = 0\)
\(d_{1,2} = \frac{-5 \pm 9}{2}\)
\(d_1 = \frac{-5 + 9}{2} = 2\)
\(d_2 = \frac{-5 — 9}{2} = -7\)

Если \(d = 2\):
\(a_1 = 10 — 2 = 8\)
\(a_2 = 10\)
\(a_3 = 10 + 2 = 12\)

Если \(d = -7\):
\(a_1 = 10 — (-7) = 17\)
\(a_2 = 10\)
\(a_3 = 10 + (-7) = 3\)

8, 10, 12 и 17, 10, 3

Пусть три числа арифметической прогрессии — это \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\). По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число, называемое разностью прогрессии, обозначим её \(d\). Тогда можно записать: \(a_1 = a_2 — d\), \(a_2\) — это средний член, а \(a_3 = a_2 + d\). Из условия задачи известно, что сумма этих трёх чисел равна 30: \(a_1 + a_2 + a_3 = 30\). Подставим выражения для \(a_1\) и \(a_3\) через \(a_2\) и \(d\): \((a_2 — d) + a_2 + (a_2 + d) = 30\). При раскрытии скобок и приведении подобных получаем: \(3a_2 = 30\). Отсюда находим второй член прогрессии: \(a_2 = \frac{30}{3} = 10\). Теперь выразим первый и третий члены: \(a_1 = 10 — d\), \(a_3 = 10 + d\).

Теперь рассмотрим второе условие задачи: если из первого числа вычесть 5, из второго — 4, а третье оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Обозначим новые числа как \(b_1 = a_1 — 5\), \(b_2 = a_2 — 4\), \(b_3 = a_3\). Подставим найденные ранее значения для членов арифметической прогрессии: \(b_1 = (10 — d) — 5 = 5 — d\), \(b_2 = 10 — 4 = 6\), \(b_3 = 10 + d\). В геометрической прогрессии выполняется условие: квадрат среднего члена равен произведению первого и третьего, то есть \(b_2^{2} = b_1 \cdot b_3\). Подставим значения: \(6^{2} = (5 — d)(10 + d)\). Получаем уравнение: \(36 = (5 — d)(10 + d)\). Раскроем скобки: \(36 = 50 + 5d — 10d — d^{2}\), то есть \(36 = 50 — 5d — d^{2}\). Приведём всё к стандартному виду квадратного уравнения: \(d^{2} + 5d — 14 = 0\).

Решим квадратное уравнение \(d^{2} + 5d — 14 = 0\) с помощью формулы корней: \(d = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} — 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -14\). Сначала найдём дискриминант: \(D = 5^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\). Теперь подставим значения: \(d = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}\). Получаем два корня: первый \(d_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\), второй \(d_2 = \frac{-5 — 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\). Теперь найдём сами числа прогрессии для каждого значения \(d\):

Если \(d = 2\), то \(a_1 = 10 — 2 = 8\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 10 + 2 = 12\). Если \(d = -7\), то \(a_1 = 10 — (-7) = 17\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 10 + (-7) = 3\). Проверим, что оба варианта удовлетворяют условиям задачи: суммы \(8 + 10 + 12 = 30\) и \(17 + 10 + 3 = 30\), а после вычитания 5 и 4 из первых двух членов получаются геометрические прогрессии: \(3, 6, 12\) и \(12, 6, 3\) соответственно, где второй член в квадрате равен произведению первого и третьего (\(6^{2} = 3 \cdot 12 = 36\) и \(6^{2} = 12 \cdot 3 = 36\)). Оба набора чисел подходят.

8, 10, 12 и 17, 10, 3