ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 863 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 65. Если из первого из этих чисел вычесть 1, из третьего вычесть 19, а второе оставить без изменений, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть числа геометрической прогрессии: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), тогда \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\), а \(b_1 + b_2 + b_3 = 65\), то есть \(b_1 (1 + q + q^2) = 65\).

Из условия: \(b_1 — 1\), \(b_2\), \(b_3 — 19\) — арифметическая прогрессия, значит \(b_2 = \frac{(b_1 — 1) + (b_3 — 19)}{2}\).

Подставляем \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\):

\(b_1 q = \frac{b_1 — 1 + b_1 q^2 — 19}{2}\)

\(2 b_1 q = b_1 — 1 + b_1 q^2 — 19\)

\(2 b_1 q = b_1 + b_1 q^2 — 20\)

\(2 q = 1 + q^2 — \frac{20}{b_1}\)

Из суммы: \(b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 65\)
\(b_1 (1 + q + q^2) = 65\)
\(b_1 = \frac{65}{1 + q + q^2}\)

Также: \(b_1 q = 15\), значит \(b_1 = \frac{15}{q}\)

Подставляем:

\(\frac{15}{q} (1 + q + q^2) = 65\)

\(15 (1 + q + q^2) = 65 q\)

\(15 + 15q + 15q^2 = 65q\)

\(15q^2 — 50q + 15 = 0\)

\(3q^2 — 10q + 3 = 0\)

Дискриминант: \(D = 100 — 36 = 64\)

\(q_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

\(q_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\)

Для \(q = \frac{1}{3}\):

\(b_1 = \frac{15}{\frac{1}{3}} = 45\)

\(b_2 = 15\)

\(b_3 = 45 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5\)

Для \(q = 3\):

\(b_1 = \frac{15}{3} = 5\)

\(b_2 = 15\)

\(b_3 = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45\)

Ответ: 45; 15; 5 и 5; 15; 45.

1. Обозначим три числа геометрической прогрессии: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\). Пусть знаменатель прогрессии — \(q\), тогда \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\).

2. По условию задачи: \(b_1 + b_2 + b_3 = 65\). Получаем: \(b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 65\), то есть \(b_1 (1 + q + q^2) = 65\).

3. Если из первого числа вычесть 1, из третьего — 19, а второе оставить без изменений, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. То есть: \(b_1 — 1\), \(b_2\), \(b_3 — 19\) — арифметическая прогрессия.

4. Для арифметической прогрессии выполняется равенство: средний член равен полусумме крайних, то есть \(b_2 = \frac{(b_1 — 1) + (b_3 — 19)}{2}\).

5. Подставим выражения для \(b_2\) и \(b_3\): \(b_1 q = \frac{b_1 — 1 + b_1 q^2 — 19}{2}\).

6. Умножим обе части на 2: \(2 b_1 q = b_1 — 1 + b_1 q^2 — 19\).

7. Перенесём все члены с \(b_1\) в одну сторону: \(2 b_1 q = b_1 + b_1 q^2 — 20\).

8. Перенесём всё в одну сторону: \(2 b_1 q — b_1 — b_1 q^2 + 20 = 0\).

9. Вынесем \(b_1\) за скобку: \(b_1 (2q — 1 — q^2) + 20 = 0\).

10. Выразим \(b_1\) через сумму: \(b_1 (1 + q + q^2) = 65\), значит \(b_1 = \frac{65}{1 + q + q^2}\).

11. Подставим это значение в уравнение из пункта 9: \(\frac{65}{1 + q + q^2} (2q — 1 — q^2) + 20 = 0\).

12. Перенесём 20 в другую сторону: \(\frac{65}{1 + q + q^2} (2q — 1 — q^2) = -20\).

13. Умножим обе части на \(1 + q + q^2\): \(65 (2q — 1 — q^2) = -20 (1 + q + q^2)\).

14. Перенесём всё в одну сторону: \(65 (2q — 1 — q^2) + 20 (1 + q + q^2) = 0\).

15. Раскроем скобки: \(130q — 65 — 65q^2 + 20 + 20q + 20q^2 = 0\).

16. Приведём подобные: \(130q + 20q = 150q\), \(-65q^2 + 20q^2 = -45q^2\), \(-65 + 20 = -45\).

17. Получаем: \(150q — 45q^2 — 45 = 0\).

18. Разделим на 15: \(10q — 3q^2 — 3 = 0\).

19. Перепишем: \(3q^2 — 10q + 3 = 0\).

20. Найдём дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\).

21. Найдём корни: \(q_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(q_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\).

22. Для \(q = \frac{1}{3}\): \(b_1 = \frac{65}{1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2} = \frac{65}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}} = \frac{65}{\frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{65}{\frac{13}{9}} = 65 \cdot \frac{9}{13} = 45\).

23. \(b_2 = b_1 q = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15\).

24. \(b_3 = b_1 q^2 = 45 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5\).

25. Для \(q = 3\): \(b_1 = \frac{65}{1 + 3 + 9} = \frac{65}{13} = 5\).

26. \(b_2 = b_1 q = 5 \cdot 3 = 15\).

27. \(b_3 = b_1 q^2 = 5 \cdot 9 = 45\).

Ответ: 45; 15; 5 и 5; 15; 45.