ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 864 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть числа: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), сумма \(b_1 + b_2 + b_3 = 26\).
Пусть знаменатель прогрессии \(q\), тогда \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\),
\(b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 26\), то есть \(b_1 (1 + q + q^2) = 26\).
Если к ним прибавить 1, 6 и 3, то получится арифметическая прогрессия:
\(b_1 + 1\), \(b_2 + 6\), \(b_3 + 3\).
В арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних:
\(b_2 + 6 = \frac{(b_1 + 1) + (b_3 + 3)}{2}\)
\(2b_2 + 12 = b_1 + b_3 + 4\)
\(2b_2 + 8 = b_1 + b_3\)
Но \(b_1 + b_2 + b_3 = 26\), значит \(b_1 + b_3 = 26 — b_2\):
\(2b_2 + 8 = 26 — b_2\)
\(3b_2 = 18\)
\(b_2 = 6\)
\(b_2 = b_1 q = 6\), значит \(b_1 = \frac{6}{q}\), \(b_3 = b_1 q^2 = \frac{6}{q} q^2 = 6q\).
Подставим в сумму:
\(\frac{6}{q} + 6 + 6q = 26\)
\(\frac{6}{q} + 6q = 20\)
\(6 + 6q^2 = 20q\)
\(6q^2 — 20q + 6 = 0\)
\(3q^2 — 10q + 3 = 0\)
Дискриминант: \(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\)
\(q_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
\(q_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3\)
Если \(q = 3\):
\(b_1 = \frac{6}{3} = 2\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 6 \cdot 3 = 18\)
Если \(q = \frac{1}{3}\):
\(b_1 = \frac{6}{\frac{1}{3}} = 18\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\)
Ответ: \(18;\ 6;\ 2\) и \(2;\ 6;\ 18\)

1. Пусть три числа геометрической прогрессии: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), их сумма равна 26, то есть \(b_1 + b_2 + b_3 = 26\).

2. Пусть знаменатель прогрессии \(q\), тогда \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\). Получаем: \(b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 26\), или \(b_1 (1 + q + q^2) = 26\).

3. К этим числам прибавляют соответственно 1, 6 и 3, получая новую последовательность: \(b_1 + 1\), \(b_2 + 6\), \(b_3 + 3\).

4. Новые числа образуют арифметическую прогрессию, значит средний член равен полусумме крайних: \(b_2 + 6 = \frac{(b_1 + 1) + (b_3 + 3)}{2}\).

5. Раскроем скобки: \(b_2 + 6 = \frac{b_1 + b_3 + 4}{2}\).

6. Умножим обе части на 2: \(2b_2 + 12 = b_1 + b_3 + 4\).

7. Перенесём 4 влево: \(2b_2 + 8 = b_1 + b_3\).

8. Но \(b_1 + b_2 + b_3 = 26\), значит \(b_1 + b_3 = 26 — b_2\). Тогда \(2b_2 + 8 = 26 — b_2\).

9. Переносим \(b_2\) вправо: \(2b_2 + b_2 = 26 — 8\), то есть \(3b_2 = 18\), отсюда \(b_2 = 6\).

10. Подставляем \(b_2 = 6\) в выражения для членов прогрессии. \(b_2 = b_1 q = 6\), значит \(b_1 = \frac{6}{q}\), \(b_3 = b_1 q^2 = \frac{6}{q} q^2 = 6q\).

11. Сумма членов прогрессии: \(b_1 + b_2 + b_3 = \frac{6}{q} + 6 + 6q = 26\).

12. Переносим 6: \(\frac{6}{q} + 6q = 20\).

13. Умножаем на \(q\): \(6 + 6q^2 = 20q\).

14. Переносим все в одну сторону: \(6q^2 — 20q + 6 = 0\).

15. Делим на 2: \(3q^2 — 10q + 3 = 0\).

16. Находим дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\).

17. Находим корни: \(q_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(q_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\).

18. Для \(q = 3\): \(b_1 = \frac{6}{3} = 2\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 6 \cdot 3 = 18\).

19. Для \(q = \frac{1}{3}\): \(b_1 = \frac{6}{\frac{1}{3}} = 18\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\).

20. Ответ: \(18;\ 6;\ 2\) и \(2;\ 6;\ 18\).