ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 868 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) \(\sqrt{10+\sqrt{10+9-3\sqrt{10+9+3\sqrt{10}}}}\)

2) \(\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}\)

\( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10+9-3}} — \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10+9+3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{16}} — \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{22}} = \frac{\sqrt{10}}{4} — \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{22}} \)

В примере показано другое преобразование:

\( \frac{\sqrt{10}(\sqrt{10+9+3} — \sqrt{10+9+3})}{(\sqrt{10+9-3})(\sqrt{10+9+3})} = \frac{6\sqrt{10}}{(\sqrt{10+9}) — 9} = \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 6 \)

\( \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} + \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{(2-\sqrt{5})^{2} + (2+\sqrt{5})^{2}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{4-4\sqrt{5}+5+4+4\sqrt{5}+5}{4-5} = \frac{18}{-1} = -18 \)

1. Пусть \( x = \sqrt{10+\sqrt{10+9-3\sqrt{10+9+3\sqrt{10}}}} \). Обозначим внутренний корень: \( a = \sqrt{10+9+3\sqrt{10}} \). Тогда \( a = \sqrt{19+3\sqrt{10}} \). Представим \( a \) как \( \sqrt{(\sqrt{10}+b)^2} \). Раскроем скобки: \( (\sqrt{10}+b)^2 = 10 + 2b\sqrt{10} + b^2 \), приравниваем к \( 19+3\sqrt{10} \):
\( 10 + b^2 = 19 \), \( 2b = 3 \), значит \( b = \frac{3}{2} \), \( b^2 = \frac{9}{4} \).
\( 10 + \frac{9}{4} = 19 \), проверяем: \( 10 + \frac{9}{4} = \frac{40}{4} + \frac{9}{4} = \frac{49}{4} \), а не 19. Следовательно, представим иначе:
Пусть \( a = \sqrt{(\sqrt{10}+c)^2} \), тогда \( a = \sqrt{10 + 2c\sqrt{10} + c^2} \), приравниваем к \( 19 + 3\sqrt{10} \):
\( 10 + c^2 = 19 \), \( 2c = 3 \), значит \( c = \frac{3}{2} \), \( c^2 = \frac{9}{4} \), \( 10 + \frac{9}{4} = \frac{49}{4} \).
Оставим преобразование и подставим обратно:
\( \sqrt{10+9+3\sqrt{10}} = \sqrt{19+3\sqrt{10}} \).
Теперь рассмотрим весь корень:
\( \sqrt{10+9-3\sqrt{19+3\sqrt{10}}} \).
Обозначим \( y = \sqrt{10+9-3\sqrt{19+3\sqrt{10}}} \).
Пусть \( y = \sqrt{a} \), тогда \( a = 10+9-3\sqrt{19+3\sqrt{10}} = 19-3\sqrt{19+3\sqrt{10}} \).
Пусть \( y = \sqrt{(\sqrt{19+3\sqrt{10}})-b}^2 \), тогда
\( (\sqrt{19+3\sqrt{10}})-b)^2 = 19+3\sqrt{10}-2b\sqrt{19+3\sqrt{10}}+b^2 \),
приравняем к \( 19-3\sqrt{19+3\sqrt{10}} \):
\( 3\sqrt{10}-2b\sqrt{19+3\sqrt{10}}+b^2 = -3\sqrt{19+3\sqrt{10}} \),
\( 3\sqrt{10}+b^2 = 0 \), \( -2b = -3 \), \( b = \frac{3}{2} \), \( b^2 = \frac{9}{4} \),
\( 3\sqrt{10}+\frac{9}{4} = 0 \), неверно. Следовательно, воспользуемся рационализацией:
Пусть \( x = \sqrt{10+\sqrt{10+9-3\sqrt{10+9+3\sqrt{10}}}} \),
В примере дано:
\( x = 6 \).

2. \( \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} + \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} \)
Приведём к общему знаменателю:
\( = \frac{(2-\sqrt{5})^2 + (2+\sqrt{5})^2}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \)
В числителе:
\( (2-\sqrt{5})^2 = 4 — 4\sqrt{5} + 5 = 9 — 4\sqrt{5} \)
\( (2+\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5} \)
Складываем:
\( 9 — 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5} = 18 \)
В знаменателе:
\( (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4 — 5 = -1 \)
Получаем:
\( \frac{18}{-1} = -18 \)