ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 87 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сравните: 1) \(\sqrt{6} + \sqrt{3}\) и \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\); 2) \(\sqrt{26} — \sqrt{2}\) и \(\sqrt{14}\).

1) Сравним \( \sqrt{6} + \sqrt{3} \) и \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \).

Возьмём квадраты:

\( (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 3 + 2 \sqrt{18} = 9 + 2 \sqrt{18} \)

\( (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = 7 + 5 + 2 \sqrt{35} = 12 + 2 \sqrt{35} \)

Так как \( 9 + 2 \sqrt{18} < 12 + 2 \sqrt{35} \), то

\( \sqrt{6} + \sqrt{3} < \sqrt{7} + \sqrt{5} \).

2) Сравним \( \sqrt{26} — \sqrt{2} \) и \( \sqrt{14} \).

Предположим, что \( \sqrt{26} — \sqrt{2} > \sqrt{14} \).

Возведём в квадрат:

\( (\sqrt{26} — \sqrt{2})^2 > (\sqrt{14})^2 \)

\( 26 — 2 \sqrt{52} + 2 > 14 \)

\( 28 — 2 \sqrt{52} > 14 \)

\( 14 > 2 \sqrt{52} \)

\( 7 > \sqrt{52} \)

Это неверно, потому что \( \sqrt{52} > 7 \).

Значит

\( \sqrt{26} — \sqrt{2} < \sqrt{14} \).

Рассмотрим первое сравнение: \( \sqrt{6} + \sqrt{3} \) и \( \sqrt{7} + \sqrt{5} \).

Чтобы сравнить эти выражения, возьмём их квадраты, так как функция возведения в квадрат монотонна для положительных чисел.

Вычислим квадрат первого выражения:

\( (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 + 2 \sqrt{18} + 3 = 9 + 2 \sqrt{18} \).

Вычислим квадрат второго выражения:

\( (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2 \sqrt{35} + 5 = 12 + 2 \sqrt{35} \).

Теперь сравним эти квадраты:

\( 9 + 2 \sqrt{18} \) и \( 12 + 2 \sqrt{35} \).

Поскольку \( \sqrt{18} \approx 4.2426 \) и \( \sqrt{35} \approx 5.9161 \), то

\( 9 + 2 \times 4.2426 = 9 + 8.4852 = 17.4852 \),

\( 12 + 2 \times 5.9161 = 12 + 11.8322 = 23.8322 \).

Так как \( 17.4852 < 23.8322 \), то

\( (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 < (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 \),

а значит

\( \sqrt{6} + \sqrt{3} < \sqrt{7} + \sqrt{5} \).

—

Рассмотрим второе сравнение: \( \sqrt{26} — \sqrt{2} \) и \( \sqrt{14} \).

Предположим, что

\( \sqrt{26} — \sqrt{2} > \sqrt{14} \).

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\( (\sqrt{26} — \sqrt{2})^2 > (\sqrt{14})^2 \).

Раскроем левую часть:

\( 26 — 2 \sqrt{26} \cdot \sqrt{2} + 2 > 14 \),

то есть

\( 26 + 2 — 2 \sqrt{52} > 14 \),

или

\( 28 — 2 \sqrt{52} > 14 \).

Перенесём 14 в левую часть:

\( 28 — 14 > 2 \sqrt{52} \),

то есть

\( 14 > 2 \sqrt{52} \).

Разделим обе части на 2:

\( 7 > \sqrt{52} \).

Приблизительно \( \sqrt{52} \approx 7.211 \), и это неравенство неверно.

Значит исходное предположение ошибочно, и верно

\( \sqrt{26} — \sqrt{2} < \sqrt{14} \).