Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 871 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:
1) \(b_1 = 1\), \(q = 2\), \(n = 9\);
2) \(b_1 = 15\), \(q = 3\), \(n = 3\);
3) \(b_1 = 18\), \(q = -4\), \(n = 5\);
4) \(b_1 = 4\), \(q = -\sqrt{2}\), \(n = 4\).
1) Для \(b_1 = 1\), \(q = 2\), \(n = 9\): сумма \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 1 \cdot \frac{2^9 — 1}{2 — 1} = 511\). Ответ: 511.
2) Для \(b_1 = 15\), \(q = 3\), \(n = 3\): сумма \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 15 \cdot \frac{3^3 — 1}{3 — 1} = 15 \cdot 13 = 195\). Ответ: 195.
3) Для \(b_1 = 18\), \(q = -4\), \(n = 5\): сумма \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} = 18 \cdot \frac{1 — (-4)^5}{1 — (-4)} = 18 \cdot \frac{1 + 1024}{5} = 18 \cdot 205 = 3690\). Ответ: 3690.
4) Для \(b_1 = 4\), \(q = -\sqrt{2}\), \(n = 4\): сумма \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} = 4 \cdot \frac{1 — (-\sqrt{2})^4}{1 — (-\sqrt{2})} = 4 \cdot \frac{1 — 4}{1 + \sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{-3}{1 + \sqrt{2}}\). Ответ: \(4 \cdot \frac{-3}{1 + \sqrt{2}}\).
1) Рассмотрим первую геометрическую прогрессию с параметрами \(b_1 = 1\), \(q = 2\), \(n = 9\). Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии, когда \(q \neq 1\), имеет вид \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим значения: \(S_9 = 1 \cdot \frac{2^9 — 1}{2 — 1}\). Сначала вычислим \(2^9 = 512\), затем \(512 — 1 = 511\), и в итоге \(S_9 = 511\). Таким образом, сумма первых 9 членов равна 511. Ответ: 511.
2) Перейдем ко второй прогрессии с параметрами \(b_1 = 15\), \(q = 3\), \(n = 3\). Используем ту же формулу суммы \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим значения: \(S_3 = 15 \cdot \frac{3^3 — 1}{3 — 1}\). Вычислим \(3^3 = 27\), затем \(27 — 1 = 26\), и знаменатель \(3 — 1 = 2\), так что \(S_3 = 15 \cdot \frac{26}{2} = 15 \cdot 13 = 195\). Сумма первых 3 членов равна 195. Ответ: 195.
3) Для третьей прогрессии даны параметры \(b_1 = 18\), \(q = -4\), \(n = 5\). Поскольку \(q \neq 1\), используем формулу суммы \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\). Подставим значения: \(S_5 = 18 \cdot \frac{1 — (-4)^5}{1 — (-4)}\). Вычислим \((-4)^5 = -1024\), затем числитель \(1 — (-1024) = 1 + 1024 = 1025\), и знаменатель \(1 — (-4) = 1 + 4 = 5\), так что \(S_5 = 18 \cdot \frac{1025}{5} = 18 \cdot 205 = 3690\). Сумма первых 5 членов равна 3690. Ответ: 3690.
4) Наконец, для четвертой прогрессии с параметрами \(b_1 = 4\), \(q = -\sqrt{2}\), \(n = 4\), снова используем формулу \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\). Подставим значения: \(S_4 = 4 \cdot \frac{1 — (-\sqrt{2})^4}{1 — (-\sqrt{2})}\). Вычислим \((-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = 4\), затем числитель \(1 — 4 = -3\), и знаменатель \(1 — (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}\), так что \(S_4 = 4 \cdot \frac{-3}{1 + \sqrt{2}}\). Сумма первых 4 членов равна \(4 \cdot \frac{-3}{1 + \sqrt{2}}\). Ответ: \(4 \cdot \frac{-3}{1 + \sqrt{2}}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.