ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 872 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии:
1) \(12, 72, 432, \dots\);
2) \(\), \(-\), \(\cdot \cdot \cdot\).

1) Для геометрической прогрессии \(12, 72, 432, \dots\) первый член \(b_1 = 12\), знаменатель \(q = 6\). Сумма первых пяти членов вычисляется по формуле \(S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1}\). Подставляем значения: \(S_5 = 12 \cdot \frac{6^5 — 1}{6 — 1} = 12 \cdot \frac{7776 — 1}{5} = 12 \cdot 1555 = 18660\). Ответ: 18660.

2) Для геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = \frac{1}{16}\) и вторым членом \(b_2 = -\frac{1}{8}\) знаменатель \(q = -2\). Сумма первых пяти членов вычисляется по формуле \(S_5 = b_1 \cdot \frac{1 — q^5}{1 — q}\). Подставляем значения: \(S_5 = \frac{1}{16} \cdot \frac{1 — (-2)^5}{1 — (-2)} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1 — (-32)}{1 + 2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{33}{3} = \frac{1}{16} \cdot 11 = \frac{11}{16}\). Ответ: \(\frac{11}{16}\).

1) Рассмотрим первую геометрическую прогрессию \(12, 72, 432, \dots\). Для нахождения суммы первых пяти членов нам нужно определить первый член прогрессии и знаменатель. Первый член \(b_1 = 12\), а второй член \(b_2 = 72\). Знаменатель прогрессии \(q\) находится как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{72}{12} = 6\). Таким образом, каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на 6.

Теперь применим формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). В нашем случае \(n = 5\), \(b_1 = 12\), \(q = 6\). Подставим значения в формулу: \(S_5 = 12 \cdot \frac{6^5 — 1}{6 — 1}\). Сначала вычислим \(6^5\): \(6^5 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 7776\). Тогда числитель будет \(7776 — 1 = 7775\), а знаменатель \(6 — 1 = 5\). Получаем \(S_5 = 12 \cdot \frac{7775}{5}\).

Далее упростим выражение: \(\frac{7775}{5} = 1555\). Теперь умножим на 12: \(12 \cdot 1555\). Разложим это вычисление: \(12 \cdot 1555 = 12 \cdot (1500 + 55) = 12 \cdot 1500 + 12 \cdot 55 = 18000 + 660 = 18660\). Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна \(S_5 = 18660\). Ответ: 18660.

2) Перейдем ко второй геометрической прогрессии, где первый член \(b_1 = \frac{1}{16}\), а второй член \(b_2 = -\frac{1}{8}\). Найдем знаменатель прогрессии \(q\) как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = -2\). Таким образом, каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на \(-2\).

Для нахождения суммы первых пяти членов используем формулу для геометрической прогрессии с \(q \neq 1\): \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\). В нашем случае \(n = 5\), \(b_1 = \frac{1}{16}\), \(q = -2\). Подставим значения: \(S_5 = \frac{1}{16} \cdot \frac{1 — (-2)^5}{1 — (-2)}\). Сначала вычислим \((-2)^5\): \((-2)^5 = -32\), так как степень нечетная. Тогда числитель будет \(1 — (-32) = 1 + 32 = 33\), а знаменатель \(1 — (-2) = 1 + 2 = 3\). Получаем \(S_5 = \frac{1}{16} \cdot \frac{33}{3}\).

Упростим выражение: \(\frac{33}{3} = 11\). Теперь умножим: \(\frac{1}{16} \cdot 11 = \frac{11}{16}\). Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна \(S_5 = \frac{11}{16}\). Ответ: \(\frac{11}{16}\).