ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 874 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \((c_n)\), если:
1) \(c_4 = 216\), а знаменатель прогрессии \(q = -3\);
2) \(c_1 = 5/5\), \(c_5 = 125/5\), а знаменатель прогрессии \(q > 0\).

1) Для геометрической прогрессии с \(c_4 = 216\) и \(q = -3\), находим \(c_1\): \(c_4 = c_1 \cdot q^{3}\), то есть \(216 = c_1 \cdot (-3)^3 = c_1 \cdot (-27)\), откуда \(c_1 = -8\). Сумма первых шести членов: \(S_6 = c_1 \cdot \frac{1 — q^6}{1 — q} = -8 \cdot \frac{1 — (-3)^6}{1 — (-3)} = -8 \cdot \frac{1 — 729}{4} = -8 \cdot (-182) = 1456\). Ответ: 1456.

2) Для прогрессии с \(c_1 = 5\sqrt{5}\), \(c_5 = 125\sqrt{5}\) и \(q > 0\), находим \(q\): \(c_5 = c_1 \cdot q^{4}\), то есть \(125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^4\), откуда \(q^4 = 25\), \(q^2 = 5\), \(q = \sqrt{5}\). Сумма первых шести членов: \(S_6 = c_1 \cdot \frac{q^6 — 1}{q — 1} = 5\sqrt{5} \cdot \frac{(\sqrt{5})^6 — 1}{\sqrt{5} — 1} = 5\sqrt{5} \cdot \frac{125 — 1}{\sqrt{5} — 1} = 5\sqrt{5} \cdot 124 \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5})^2 — 1^2}=\)
\( = 5\sqrt{5} \cdot 124 \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = 155\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + 1) = 155(5 + \sqrt{5})\). Ответ: \(155(5 + \sqrt{5})\).

1) Рассмотрим первую задачу, где нам даны \(c_4 = 216\) и знаменатель геометрической прогрессии \(q = -3\). Наша цель — найти сумму первых шести членов прогрессии \(S_6\). Для начала определим первый член прогрессии \(c_1\). Мы знаем, что \(c_4 = c_1 \cdot q^{3}\), подставим известные значения: \(216 = c_1 \cdot (-3)^3\). Вычислим \((-3)^3 = -27\), следовательно, \(216 = c_1 \cdot (-27)\). Отсюда \(c_1 = \frac{216}{-27} = -8\).

Теперь, зная \(c_1 = -8\) и \(q = -3\), найдем сумму первых шести членов по формуле суммы геометрической прогрессии: \(S_6 = c_1 \cdot \frac{1 — q^6}{1 — q}\). Сначала вычислим \(q^6\): \((-3)^6 = 729\). Затем подставим значения в формулу: \(S_6 = -8 \cdot \frac{1 — 729}{1 — (-3)} = -8 \cdot \frac{1 — 729}{1 + 3} = -8 \cdot \frac{-728}{4}\). Упростим дробь: \(\frac{-728}{4} = -182\), поэтому \(S_6 = -8 \cdot (-182) = 1456\). Таким образом, сумма первых шести членов равна 1456. Ответ: 1456.

2) Перейдем ко второй задаче, где даны \(c_1 = 5\sqrt{5}\), \(c_5 = 125\sqrt{5}\), а знаменатель прогрессии \(q > 0\). Нужно найти сумму первых шести членов \(S_6\). Сначала определим \(q\). По формуле геометрической прогрессии \(c_5 = c_1 \cdot q^{4}\), подставим значения: \(125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^{4}\). Разделим обе части на \(5\sqrt{5}\): \(\frac{125\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = q^{4}\), что дает \(25 = q^{4}\). Поскольку \(q > 0\), извлекаем корень: \(q^{2} = 5\), откуда \(q = \sqrt{5}\).

Теперь вычислим сумму первых шести членов по формуле \(S_6 = c_1 \cdot \frac{q^6 — 1}{q — 1}\). Сначала найдем \(q^6\): \(q^2 = 5\), значит \(q^4 = 25\), а \(q^6 = 25 \cdot 5 = 125\). Подставим в формулу: \(S_6 = 5\sqrt{5} \cdot \frac{125 — 1}{\sqrt{5} — 1} = 5\sqrt{5} \cdot \frac{124}{\sqrt{5} — 1}\). Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{5} + 1\): \(S_6 = 5\sqrt{5} \cdot \frac{124 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} — 1) \cdot (\sqrt{5} + 1)} = 5\sqrt{5} \cdot \frac{124 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{5 — 1} =\)
\(= 5\sqrt{5} \cdot \frac{124 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{4} = 5\sqrt{5} \cdot 31 \cdot (\sqrt{5} + 1)\).

Упростим дальше: \(5\sqrt{5} \cdot 31 = 155\sqrt{5}\), поэтому \(S_6 = 155\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + 1) = 155 \cdot (5 + \sqrt{5})\). Таким образом, сумма первых шести членов равна \(155(5 + \sqrt{5})\). Ответ: \(155(5 + \sqrt{5})\).