ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 875 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии \((x_n)\), если \(x_3 = 24\), \(x_6 = 768\).

Сумма семи первых членов геометрической прогрессии равна 762. Краткое решение: дана прогрессия с \(x_3 = 24\) и \(x_6 = 768\). Найдем знаменатель прогрессии \(q\) из отношения \(x_6 = x_3 \cdot q^{6-3}\), то есть \(768 = 24 \cdot q^3\), откуда \(q^3 = 32\), \(q = 2\). Первый член прогрессии из \(x_3 = x_1 \cdot q^2\): \(24 = x_1 \cdot 4\), откуда \(x_1 = 6\). Сумма первых семи членов: \(S_7 = x_1 \cdot \frac{q^7 — 1}{q — 1} = 6 \cdot \frac{128 — 1}{2 — 1} = 6 \cdot 127 = 762\). Ответ: 762.

1) Дана геометрическая прогрессия, в которой третий член равен \(x_3 = 24\), а шестой член равен \(x_6 = 768\). Наша задача — найти сумму первых семи членов этой прогрессии. Для начала составим первое уравнение, используя формулу общего члена геометрической прогрессии \(x_n = x_1 \cdot q^{n-1}\), где \(x_1\) — первый член, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Для третьего члена имеем \(x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2 = 24\). Это будет первое уравнение.

2) Теперь составим второе уравнение для шестого члена прогрессии. По той же формуле \(x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = x_1 \cdot q^5 = 768\). У нас есть система из двух уравнений: \(x_1 \cdot q^2 = 24\) и \(x_1 \cdot q^5 = 768\). Чтобы найти \(q\), разделим второе уравнение на первое: \(\frac{x_1 \cdot q^5}{x_1 \cdot q^2} = \frac{768}{24}\), что упрощается до \(q^{5-2} = 32\), то есть \(q^3 = 32\). Извлекая кубический корень, получаем \(q = 2\). Подставим \(q = 2\) в первое уравнение: \(x_1 \cdot 2^2 = 24\), откуда \(x_1 \cdot 4 = 24\), и, следовательно, \(x_1 = \frac{24}{4} = 6\).

3) Теперь, когда у нас есть первый член \(x_1 = 6\) и знаменатель \(q = 2\), мы можем найти сумму первых семи членов прогрессии по формуле суммы геометрической прогрессии: \(S_n = x_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Для \(n = 7\) имеем \(S_7 = 6 \cdot \frac{2^7 — 1}{2 — 1}\). Вычислим \(2^7 = 128\), тогда \(S_7 = 6 \cdot \frac{128 — 1}{1} = 6 \cdot 127 = 762\). Таким образом, сумма первых семи членов равна 762. Ответ: 762.