Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 879 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна \(516\), а первый член равен \(12\). Найдите знаменатель прогрессии
Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна \(516\), первый член \(b_1 = 12\). Используем формулу суммы: \(S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1}\). Подставляем значения: \(12 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 516\). Умножаем обе части на \(q — 1\): \(12(q^3 — 1) = 516(q — 1)\). Раскрываем \(q^3 — 1 = (q — 1)(q^2 + q + 1)\), получаем \(12(q^2 + q + 1) = 516\), делим на 12: \(q^2 + q + 1 = 43\), приводим к уравнению \(q^2 + q — 42 = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 168 = 169\), корни \(q = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}\), то есть \(q_1 = \frac{-1 + 13}{2} = 6\), \(q_2 = \frac{-1 — 13}{2} = -7\). Ответ: \(-7; 6\).
1. Дано: сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна \(S_3 = 516\), а первый член прогрессии равен \(b_1 = 12\). Необходимо найти знаменатель прогрессии \(q\).
2. Для геометрической прогрессии сумма первых \(n\) членов выражается формулой \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), где \(q \neq 1\). В нашем случае \(n = 3\), поэтому запишем формулу для суммы трёх членов: \(S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1}\).
3. Подставим известные значения \(S_3 = 516\) и \(b_1 = 12\) в уравнение: \(12 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 516\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \((q — 1)\): \(12 \cdot (q^3 — 1) = 516 \cdot (q — 1)\).
4. Раскроем выражение \(q^3 — 1\), используя формулу разности кубов: \(q^3 — 1 = (q — 1) \cdot (q^2 + q + 1)\). Подставим это в уравнение: \(12 \cdot (q — 1) \cdot (q^2 + q + 1) = 516 \cdot (q — 1)\). Так как \((q — 1)\) присутствует в обеих частях уравнения и \(q \neq 1\), мы можем сократить на \((q — 1)\): \(12 \cdot (q^2 + q + 1) = 516\).
5. Разделим обе части уравнения на 12, чтобы упростить: \(\frac{12 \cdot (q^2 + q + 1)}{12} = \frac{516}{12}\), что даёт \(q^2 + q + 1 = 43\).
6. Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, вычтя 43 из обеих частей: \(q^2 + q + 1 — 43 = 0\), то есть \(q^2 + q — 42 = 0\).
7. Найдём дискриминант уравнения \(q^2 + q — 42 = 0\). Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -42\). Подставим значения: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\).
8. Так как дискриминант \(D = 169\), найдём корни уравнения по формуле \(q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(q = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 13}{2}\).
9. Вычислим два возможных значения \(q\). Первое: \(q_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6\). Второе: \(q_2 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7\).
10. Таким образом, возможные значения знаменателя прогрессии равны \(q = 6\) и \(q = -7\). Ответ: \(-7; 6\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.