ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 88 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение: 1) \(\frac{x-3}{x+3} + \frac{x^2}{3-x}\); 2) \(\frac{a+b}{a-b} — \frac{a-b}{a+b}\); 3) \(\frac{ab}{a^2 — b^2}\).

1) \( \frac{x-3}{x+3} \cdot \left(x + \frac{x^{2}}{3-x}\right) = \frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{x(3-x) + x^{2}}{3-x} = \frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x — x^{2} + x^{2}}{3-x} =\)

\(= \frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{3-x} = \frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{-(x-3)} = -\frac{3x}{x+3}\)

2) \( \left(\frac{a+b}{a-b} — \frac{a-b}{a+b}\right) : \frac{ab}{a^{2} — b^{2}} = \frac{(a+b)^{2} — (a-b)^{2}}{(a-b)(a+b)} : \frac{ab}{(a-b)(a+b)} =\)

\(= \frac{a^{2} + 2ab + b^{2} — (a^{2} — 2ab + b^{2})}{(a-b)(a+b)} : \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{4ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{ab} = 4\)

Для первого выражения начнём с раскрытия скобок внутри круглых скобок. Выражение \(x + \frac{x^{2}}{3-x}\) приведём к общему знаменателю. Для этого умножим \(x\) на \(\frac{3-x}{3-x}\), чтобы получить дробь с тем же знаменателем: \(x = \frac{x(3-x)}{3-x} = \frac{3x — x^{2}}{3-x}\). Теперь сложим дроби: \(\frac{3x — x^{2}}{3-x} + \frac{x^{2}}{3-x} = \frac{3x — x^{2} + x^{2}}{3-x} = \frac{3x}{3-x}\).

Подставим это обратно в исходное выражение: \(\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{3-x}\). Обратим внимание на знаменатель \(3-x\). Его можно переписать как \(-(x-3)\). Тогда выражение станет \(\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{-(x-3)}\).

Теперь можем сократить \((x-3)\) в числителе и знаменателе: \(\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{-(x-3)} = \frac{-3x}{x+3}\).

Для второго выражения сначала рассмотрим разность двух дробей: \(\frac{a+b}{a-b} — \frac{a-b}{a+b}\). Приведём их к общему знаменателю, которым будет произведение \((a-b)(a+b)\). Получаем: \(\frac{(a+b)^{2} — (a-b)^{2}}{(a-b)(a+b)}\).

Раскроем квадраты: \((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\), \((a-b)^{2} = a^{2} — 2ab + b^{2}\). Тогда числитель будет равен \(a^{2} + 2ab + b^{2} — (a^{2} — 2ab + b^{2}) = 4ab\).

Подставим обратно: \(\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}\).

Теперь разделим это выражение на \(\frac{ab}{a^{2} — b^{2}}\). Знаем, что \(a^{2} — b^{2} = (a-b)(a+b)\), значит деление на \(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}\) эквивалентно умножению на обратную дробь: \(\frac{4ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{ab}\).

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: \(4ab\) и \(ab\), а также \((a-b)(a+b)\). В итоге остаётся число 4.