ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 882 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Бактерия, попав в благоприятную среду, в конце двадцатой минуты делится на две бактерии, каждая из которых в конце следующих \(20\) мин делится снова на две, и т. д. Сколько бактерий получится из одной бактерии в течение суток?

Дана прогрессия: \(b_1 = 1, \quad q = 2;\)

1) Количество членов:
\(n = \frac{24 \cdot 60}{20} = 24 \cdot 3 = 72;\)

2) Сумма первых членов:
\(S_{72} = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} = 2^{72} — 1;\)

Ответ: \(2^{72} — 1.\)

Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем прогрессии \(q = 2\). Это означает, что каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на число 2. Например, второй член будет равен \(b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2\), третий член \(b_3 = b_2 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4\) и так далее. Важно понимать, что в геометрической прогрессии каждый следующий член растёт экспоненциально, в отличие от арифметической, где рост происходит на постоянную разность.

Для вычисления количества членов прогрессии нам дано выражение \(n = \frac{24 \cdot 60}{20}\). Здесь мы видим, что общее количество членов находится путём деления произведения 24 и 60 на 20. Рассчитаем это: сначала перемножаем 24 и 60, получаем 1440, затем делим 1440 на 20, что даёт 72. Таким образом, количество членов прогрессии равно \(n = 72\). Это важный шаг, так как для дальнейших вычислений суммы членов прогрессии нужно знать, сколько именно членов мы суммируем.

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим наши значения: \(b_1 = 1\), \(q = 2\), и \(n = 72\). Получаем \(S_{72} = 1 \cdot \frac{2^{72} — 1}{2 — 1} = 2^{72} — 1\). Здесь знаменатель равен 1, поэтому он не влияет на результат. Итоговая сумма первых 72 членов прогрессии равна \(2^{72} — 1\). Это очень большое число, так как степень 72 означает умножение 2 на себя 72 раза, что даёт экспоненциальный рост суммы.