Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 883 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
При любом \(n\) сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии \(S_n = 4(3^n — 1)\). Найдите третий член этой прогрессии.
Третий член геометрической прогрессии находится как разность между суммой первых трёх членов \(S_3\) и суммой первых двух членов \(S_2\). По формуле \(S_n = 4(3^n — 1)\) вычислим \(S_3 = 4(3^3 — 1) = 4(27 — 1) = 4 \cdot 26 = 104\) и \(S_2 = 4(3^2 — 1) = 4(9 — 1) = 4 \cdot 8 = 32\). Тогда третий член прогрессии равен \(b_3 = S_3 — S_2 = 104 — 32 = 72\).
Ответ: 72
1. Дана геометрическая прогрессия, для которой сумма первых \(n\) членов выражается формулой \(S_n = 4(3^n — 1)\). Наша задача — найти третий член этой прогрессии.
2. Для решения задачи нам нужно вспомнить, что сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(S_n\) включает все члены от первого до \(n\)-го. Таким образом, чтобы найти третий член прогрессии, мы можем воспользоваться разностью между суммой первых трёх членов \(S_3\) и суммой первых двух членов \(S_2\), то есть \(b_3 = S_3 — S_2\).
3. Сначала вычислим сумму первых трёх членов \(S_3\). Подставим \(n = 3\) в данную формулу: \(S_3 = 4(3^3 — 1)\). Вычислим степень: \(3^3 = 27\), затем вычтем единицу: \(27 — 1 = 26\). Теперь умножим на 4: \(4 \cdot 26 = 104\). Итак, \(S_3 = 104\).
4. Далее вычислим сумму первых двух членов \(S_2\). Подставим \(n = 2\) в формулу: \(S_2 = 4(3^2 — 1)\). Вычислим степень: \(3^2 = 9\), затем вычтем единицу: \(9 — 1 = 8\). Теперь умножим на 4: \(4 \cdot 8 = 32\). Итак, \(S_2 = 32\).
5. Теперь найдём третий член прогрессии \(b_3\) как разность между \(S_3\) и \(S_2\): \(b_3 = S_3 — S_2 = 104 — 32 = 72\).
6. Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен 72.
7. Проверим правильность вычислений. Формула суммы \(S_n = 4(3^n — 1)\) задана для геометрической прогрессии, и наши расчёты для \(n = 3\) и \(n = 2\) выполнены корректно: \(3^3 = 27\), \(27 — 1 = 26\), \(4 \cdot 26 = 104\); \(3^2 = 9\), \(9 — 1 = 8\), \(4 \cdot 8 = 32\). Разность \(104 — 32 = 72\) также верна.
8. Можно дополнительно убедиться в правильности ответа, если рассмотреть общую формулу для членов прогрессии, но в данном случае это не требуется, так как прямой метод вычисления через разность сумм даёт точный результат.
9. Итоговый результат совпадает с ожидаемым значением, указанным в примере.
10. Ответ: 72.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.