ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 884 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При любом \(n\) сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии \(s_n = 6 \cdot (-3)^n — 1\). Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Дана прогрессия:
\( S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n — 1 \right) ; \)

Четвертый член прогрессии:
\( S_4 = 6 \left( \frac{1}{16} — 1 \right) = -\frac{15}{16} \cdot 6 = -\frac{45}{8} ; \)
\( S_3 = 6 \left( -\frac{1}{8} — 1 \right) = -\frac{9}{8} \cdot 6 = -\frac{54}{8} ; \)
\( b_4 = S_4 — S_3 = -\frac{45}{8} + \frac{54}{8} = \frac{9}{8} ; \)

Ответ:
\(\frac{9}{8}\)

Дана формула суммы членов прогрессии: \( S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n — 1 \right) \). Здесь выражение \( \left(-\frac{1}{2}\right)^n \) означает, что основание прогрессии — число \(-\frac{1}{2}\), возводимое в степень \(n\), где \(n\) — номер члена последовательности. Далее из этого результата вычитается 1, и полученное значение умножается на 6. Таким образом, для каждого значения \(n\) мы можем вычислить сумму первых \(n\) членов прогрессии. Формула отражает геометрическую прогрессию с определённым множителем и сдвигом.

Чтобы найти конкретный член прогрессии, например, четвёртый, мы подставляем \(n=4\) в формулу суммы: \( S_4 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 — 1 \right) \). Возводим \(-\frac{1}{2}\) в четвёртую степень, получая \( \frac{1}{16} \), так как степень четная, знак становится положительным. Вычитаем 1: \( \frac{1}{16} — 1 = -\frac{15}{16} \). Умножаем на 6: \( 6 \times \left(-\frac{15}{16}\right) = -\frac{90}{16} = -\frac{45}{8} \). Таким образом, сумма первых четырёх членов равна \(-\frac{45}{8}\).

Аналогично для третьего члена подставляем \(n=3\): \( S_3 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 — 1 \right) \). Возводим \(-\frac{1}{2}\) в третью степень, получаем \(-\frac{1}{8}\) (отрицательное, так как степень нечётная). Вычитаем 1: \( -\frac{1}{8} — 1 = -\frac{9}{8} \). Умножаем на 6: \( 6 \times \left(-\frac{9}{8}\right) = -\frac{54}{8} \). Теперь, чтобы найти конкретный четвёртый член прогрессии \(b_4\), вычитаем сумму первых трёх членов из суммы первых четырёх: \( b_4 = S_4 — S_3 = -\frac{45}{8} — \left(-\frac{54}{8}\right) = -\frac{45}{8} + \frac{54}{8} = \frac{9}{8} \). Получаем, что четвёртый член равен \( \frac{9}{8} \).