ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 885 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен \(2/3\), а знаменатель равен \(\sqrt{3}\).

Сумма квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, где первый член \(b_1 = 2\sqrt{3}\), а знаменатель \(q = \sqrt{3}\), вычисляется следующим образом: сначала находим квадраты членов, где \(c_1 = (2\sqrt{3})^2 = 12\), а знаменатель квадратов \(q_c = (\sqrt{3})^2 = 3\). Затем сумма шести членов новой прогрессии: \(S_6 = c_1 \cdot \frac{q_c^6 — 1}{q_c — 1} = 12 \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1} = 12 \cdot \frac{729 — 1}{2} = 12 \cdot 364 = 4368\). Ответ: 4368.

Дано: геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 2\sqrt{3}\) и знаменателем \(q = \sqrt{3}\). Необходимо найти сумму квадратов первых шести членов этой прогрессии.

1) Сначала рассмотрим квадраты членов прогрессии. Если каждый член прогрессии возвести в квадрат, то получится новая геометрическая прогрессия. Первый член этой новой прогрессии будет равен \(c_1 = (b_1)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\). Знаменатель новой прогрессии также будет квадратом исходного знаменателя: \(q_c = q^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\).

2) Теперь нам нужно найти сумму первых шести членов новой геометрической прогрессии с первым членом \(c_1 = 12\) и знаменателем \(q_c = 3\). Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии имеет вид \(S_n = c_1 \cdot \frac{q_c^n — 1}{q_c — 1}\). Подставим значения для \(n = 6\): \(S_6 = 12 \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1}\).

3) Вычислим \(3^6\): \(3^6 = 729\). Тогда числитель становится \(729 — 1 = 728\), а знаменатель равен \(3 — 1 = 2\). Таким образом, \(S_6 = 12 \cdot \frac{728}{2} = 12 \cdot 364\).

4) Выполним последнее умножение: \(12 \cdot 364 = 4368\). Следовательно, сумма квадратов первых шести членов исходной геометрической прогрессии равна \(4368\).

Ответ: \(4368\).