ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 887 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество \(a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\).

Для доказательства тождества \(a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\) рассмотрим правую часть выражения. Если раскрыть скобки, то получим:
\((a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) = a \cdot (a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) — \)
\(-(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\).

Это выражение можно представить как телескопическую сумму, где большинство членов сокращаются:
\(a \cdot a^{n-1} + a \cdot a^{n-2} + \dots + a \cdot a + a \cdot 1 — a^{n-1} — a^{n-2} — \dots — a — 1=\)
\( = a^n + a^{n-1} + \dots + a — a^{n-1} — a^{n-2} — \dots — a — 1 = a^n — 1\).

Таким образом, правая часть равна левой, что и требовалось доказать. Тождество доказано путем прямого раскрытия скобок и упрощения.

1. Нам требуется доказать тождество \(a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\). Для этого мы будем использовать метод прямого раскрытия скобок и упрощения выражения, чтобы показать, что левая часть равна правой.

2. Начнем с рассмотрения правой части выражения, то есть \((a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\). Наша цель — раскрыть скобки и посмотреть, к чему это приведет.

3. Раскроем скобки, умножив каждый член внутри второй скобки на \(a\) и на \(-1\). При умножении на \(a\) получаем: \(a \cdot a^{n-1} + a \cdot a^{n-2} + \dots + a \cdot a + a \cdot 1\), что равно \(a^n + a^{n-1} + \dots + a^2 + a\). При умножении на \(-1\) получаем: \(-1 \cdot a^{n-1} — 1 \cdot a^{n-2} — \dots — 1 \cdot a — 1 \cdot 1\), что равно \(-a^{n-1} — a^{n-2} — \dots — a — 1\).

4. Теперь объединим эти результаты. Полное выражение после раскрытия скобок выглядит так: \((a^n + a^{n-1} + \dots + a^2 + a) + (-a^{n-1} — a^{n-2} — \dots — a — 1)\). Мы видим, что здесь есть пары членов, которые можно сократить.

5. Рассмотрим члены с одинаковыми степенями \(a\). Например, \(a^{n-1}\) и \(-a^{n-1}\) дают в сумме \(0\), \(a^{n-2}\) и \(-a^{n-2}\) также дают \(0\), и так далее до \(a\) и \(-a\), которые тоже сокращаются. В итоге все члены, кроме \(a^n\) и \(-1\), взаимно уничтожаются.

6. После сокращения всех промежуточных членов у нас остается только \(a^n — 1\). Это означает, что правая часть выражения \((a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\) после раскрытия и упрощения равна \(a^n — 1\), что совпадает с левой частью тождества.

7. Таким образом, мы показали, что \((a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) = a^n — 1\). Это подтверждает истинность данного тождества для всех \(a \neq 1\), так как при \(a = 1\) выражение принимает вид неопределенности, но может быть рассмотрено отдельно.

8. Дополнительно отметим, что данный метод раскрытия скобок является примером телескопической суммы, где большинство членов сокращаются, оставляя только граничные значения. Это стандартный подход для доказательства подобных алгебраических тождеств.

9. Мы также можем проверить тождество на конкретных значениях. Например, при \(n = 2\) и \(a = 3\) левая часть: \(3^2 — 1 = 9 — 1 = 8\), правая часть: \((3 — 1)(3^{2-1} + 1) = 2 \cdot (3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8\). Результаты совпадают.

10. В заключение, тождество \(a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)\) доказано путем алгебраического раскрытия и упрощения, а также подтверждено численным примером.