ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 888 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество \(a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} — a^{2n-1} + \dots + a^2 — a + 1)\).

Для доказательства тождества \((a^{2n+1} + 1) = (a + 1)(a^{2n} — a^{2n-1} + \dots + a^2 — a + 1)\) умножим правую часть на \((a + 1)\). Раскроем выражение \((a + 1)(a^{2n} — a^{2n-1} + a^{2n-2} — \dots + a^2 — a + 1)\), где каждый член умножается на \(a\) и на \(1\), что дает телескопическую сумму: большинство членов сокращаются, оставляя \(a^{2n+1} + 1\). Это подтверждает тождество.

Докажите тождество \((a^{2n+1} + 1) = (a + 1)(a^{2n} — a^{2n-1} + a^{2n-2} — \dots + a^2 — a + 1)\).

Рассмотрим данное тождество. Наша цель — показать, что левая часть выражения равна правой части для любых значений переменной \(a\) и целого неотрицательного числа \(n\). Для этого мы можем либо преобразовать правую часть, чтобы получить левую, либо использовать метод математической индукции. Начнем с алгебраического подхода, раскрывая правую часть.

Правая часть выражения представляет собой произведение \((a + 1)\) на многочлен \((a^{2n} — a^{2n-1} + a^{2n-2} — \dots + a^2 — a + 1)\). Давайте умножим каждый член многочлена на \((a + 1)\), то есть распределим множитель по всем слагаемым. При умножении \((a + 1)\) на \(a^{k}\) получаем \(a^{k+1} + a^{k}\), а при умножении на \(-a^{k}\) получаем \(-a^{k+1} — a^{k}\). Таким образом, для каждого члена многочлена можно записать соответствующие слагаемые.

Запишем результат умножения, начиная с первого члена: \((a + 1) \cdot a^{2n} = a^{2n+1} + a^{2n}\), затем \((a + 1) \cdot (-a^{2n-1}) = -a^{2n} — a^{2n-1}\), далее \((a + 1) \cdot a^{2n-2} = a^{2n-1} + a^{2n-2}\), и так далее, чередуя знаки. Продолжаем до последнего члена: \((a + 1) \cdot (-a) = -a^2 — a\), и, наконец, \((a + 1) \cdot 1 = a + 1\).

Теперь выпишем все полученные слагаемые в порядке убывания степеней: \(a^{2n+1} + a^{2n} — a^{2n} — a^{2n-1} + a^{2n-1} + a^{2n-2} — a^{2n-2} — a^{2n-3} +\)
\(+ \dots — a^2 — a + a + 1\). Обратите внимание, что почти все члены попарно сокращаются: \(a^{2n}\) и \(-a^{2n}\), \(-a^{2n-1}\) и \(a^{2n-1}\), и так далее, вплоть до \(-a\) и \(a\). После сокращения всех промежуточных членов остаются только два слагаемых: \(a^{2n+1} + 1\).

Таким образом, мы получили, что \((a + 1)(a^{2n} — a^{2n-1} + a^{2n-2} — \dots + a^2 — a + 1) = a^{2n+1} + 1\), что совпадает с левой частью тождества. Это доказывает равенство для всех значений \(a\) и неотрицательных целых \(n\).

Дополнительно можно заметить, что данное тождество можно также представить в виде суммы геометрической прогрессии с чередующимися знаками, но алгебраическое раскрытие произведения уже достаточно для доказательства. Что и требовалось доказать.