ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 889 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой \(q = 3\), последний член \(c_n = 162\), а сумма всех членов \(S = 242\).

Для геометрической прогрессии с \(q = 3\), последним членом \(c_n = 162\) и суммой \(S = 242\) найдём количество членов \(n\). Последний член выражается как \(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\), откуда \(162 = c_1 \cdot 3^{n-1}\). Сумма прогрессии: \(S = c_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 242\), то есть \(c_1 \cdot \frac{3^n — 1}{2} = 242\). Подставим \(c_1 = \frac{162}{3^{n-1}}\) в уравнение суммы: \(\frac{162}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^n — 1}{2} = 242\). Упростим: \(\frac{162 \cdot (3^n — 1)}{2 \cdot 3^{n-1}} = 242\), или \(81 \cdot \frac{3^n — 1}{3^{n-1}} = 242\). Умножим на \(3^{n-1}\): \(81 \cdot (3^n — 1) = 242 \cdot 3^{n-1}\). Делим на 3: \(27 \cdot (3^n — 1) = \frac{242}{3} \cdot 3^{n-1}\), но проще решить численно. Подставим \(3^n = 3 \cdot 3^{n-1}\), получим уравнение, из которого \(3^n = 243\), так как \(243 = 3^5\), то \(n = 5\). Ответ: 5.

Для решения задачи о нахождении количества членов конечной геометрической прогрессии с заданными параметрами \(q = 3\), последним членом \(c_n = 162\) и суммой всех членов \(S = 242\), рассмотрим пошаговый подход.

1) Напомним, что в геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \(q\). Формула для \(n\)-го члена прогрессии: \(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\), где \(c_1\) — первый член прогрессии. Подставим известные значения: \(162 = c_1 \cdot 3^{n-1}\). Это первое уравнение, из которого можно выразить \(c_1\): \(c_1 = \frac{162}{3^{n-1}}\).

2) Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = c_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим известные значения: \(242 = c_1 \cdot \frac{3^n — 1}{3 — 1}\), что упрощается до \(242 = c_1 \cdot \frac{3^n — 1}{2}\). Это второе уравнение, связывающее \(c_1\) и \(n\).

3) Подставим выражение для \(c_1\) из первого уравнения во второе: \(242 = \frac{162}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^n — 1}{2}\). Упростим это выражение. Заметим, что \(3^n = 3 \cdot 3^{n-1}\), поэтому \(\frac{3^n}{3^{n-1}} = 3\), и выражение становится: \(242 = \frac{162}{3^{n-1}} \cdot \frac{3 \cdot 3^{n-1} — 1}{2}\). Однако лучше умножим обе части на \(2 \cdot 3^{n-1}\), чтобы избавиться от знаменателей: \(242 \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = 162 \cdot (3^n — 1)\).

4) Упростим числовые коэффициенты: \(484 \cdot 3^{n-1} = 162 \cdot 3^n — 162\). Разделим обе части на 2 для дальнейшего упрощения: \(242 \cdot 3^{n-1} = 81 \cdot 3^n — 81\). Перенесем все члены в одну сторону: \(242 \cdot 3^{n-1} — 81 \cdot 3^n + 81 = 0\). Заметим, что \(3^n = 3 \cdot 3^{n-1}\), поэтому \(81 \cdot 3^n = 81 \cdot 3 \cdot 3^{n-1} = 243 \cdot 3^{n-1}\). Подставим: \(242 \cdot 3^{n-1} — 243 \cdot 3^{n-1} + 81 = 0\), или \((242 — 243) \cdot 3^{n-1} + 81 = 0\), то есть \(-1 \cdot 3^{n-1} + 81 = 0\).

5) Получаем: \(3^{n-1} = 81\). Так как \(81 = 3^4\), то \(3^{n-1} = 3^4\), откуда \(n — 1 = 4\), следовательно, \(n = 5\).

6) Проверим решение. Если \(n = 5\), то \(c_1 = \frac{162}{3^{5-1}} = \frac{162}{3^4} = \frac{162}{81} = 2\). Сумма прогрессии: \(S = 2 \cdot \frac{3^5 — 1}{3 — 1} = 2 \cdot \frac{243 — 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 2 \cdot 121 = 242\), что совпадает с условием. Последний член: \(c_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162\), что также верно.

Таким образом, количество членов прогрессии равно 5. Ответ: 5.