ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 895 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На плоскости расположено \(100\) точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторой квадратичной функции. Докажите, что все \(100\) точек лежат на графике одной квадратичной функции.

Предположим, что не все 100 точек лежат на одной квадратичной функции. Тогда существуют две квадратичные функции \(f(x)\) и \(g(x)\), каждая из которых проходит через некоторые подмножества этих точек. Поскольку через любые 4 точки проходит график квадратичной функции, рассмотрим пересечение множеств точек, принадлежащих \(f(x)\) и \(g(x)\). Квадратичные функции могут иметь не более 2 общих точек (если их уравнения различны), но если взять 4 точки, через которые проходит \(f(x)\), то среди них может быть более 2 точек, принадлежащих \(g(x)\), что противоречит условию. Следовательно, все 100 точек должны лежать на графике одной квадратичной функции.

1. Рассмотрим задачу о 100 точках на плоскости, для которых выполнено условие, что через каждые четыре из них проходит график некоторой квадратичной функции. Наша цель — доказать, что все эти 100 точек лежат на графике одной квадратичной функции.

2. Напомним, что квадратичная функция имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \neq 0\). График такой функции — парабола, и через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную параболу, то есть определить уникальные коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\).

3. Условие задачи гласит, что для любых четырех точек из данного множества существует квадратичная функция, график которой проходит через эти четыре точки. Это означает, что для каждой четверки точек можно найти такие коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\), чтобы уравнение \(y = ax^2 + bx + c\) удовлетворялось для всех четырех точек.

4. Предположим, что не все 100 точек лежат на одной квадратичной функции. Тогда должно существовать как минимум две различные квадратичные функции, на графиках которых лежат различные подмножества этих 100 точек. Обозначим эти функции как \(f(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1\) и \(g(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2\), где \(f(x) \neq g(x)\), то есть их коэффициенты различны.

5. Поскольку \(f(x)\) и \(g(x)\) — квадратичные функции, их графики могут пересекаться не более чем в двух точках. Это следует из того, что уравнение \(f(x) — g(x) = 0\) является квадратным уравнением вида \((a_1 — a_2)x^2 + (b_1 — b_2)x + (c_1 — c_2) = 0\), которое имеет не более двух корней (если дискриминант положителен, то два корня, если равен нулю — один, если отрицателен — ни одного).

6. Теперь выберем четыре точки из множества, через которые проходит график функции \(f(x)\). По условию задачи, через эти четыре точки должна проходить некоторая квадратичная функция. Если эти четыре точки принадлежат \(f(x)\), то \(f(x)\) является одной из таких функций.

7. Рассмотрим, сколько из этих четырех точек могут принадлежать функции \(g(x)\). Поскольку \(f(x)\) и \(g(x)\) могут иметь не более двух общих точек, среди выбранных четырех точек, принадлежащих \(f(x)\), не более двух могут принадлежать \(g(x)\). Это означает, что как минимум две точки из этих четырех не лежат на графике \(g(x)\).

8. Однако, по условию задачи, через любые четыре точки, включая выбранные нами, должна проходить некоторая квадратичная функция. Если мы возьмем эти четыре точки, то функция \(g(x)\) не может быть этой функцией, так как она не проходит через все четыре точки (по крайней мере две из них не принадлежат \(g(x)\)).

9. Это приводит к противоречию, поскольку условие задачи требует, чтобы через любые четыре точки проходила квадратичная функция, а наше предположение о существовании двух различных функций \(f(x)\) и \(g(x)\) нарушает это условие. Следовательно, предположение о том, что не все 100 точек лежат на одной квадратичной функции, неверно.

10. Таким образом, мы заключаем, что все 100 точек должны лежать на графике одной и той же квадратичной функции, что и требовалось доказать.