ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 896 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:

1) \(b_1 = 24\), \(q = \frac{1}{3}\);

2) \(b_1 = -84\), \(q = -\frac{1}{2}\);

3) \(b_1 = 63\), \(q = -\frac{1}{3}\);

4) \(b_1 = -81\), \(q = -\frac{1}{7}\).

1) \(b_1 = 24, \quad q = \frac{3}{4};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{24}{1 — \frac{3}{4}};\)

\(S = 24 \cdot 4 = 96;\)

Ответ: 96.

2) \(b_1 = -84, \quad q = -\frac{1}{3};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-84}{1 + \frac{1}{3}};\)

\(S = -84 \cdot \frac{3}{4} = -63;\)

Ответ: -63.

3) \(b_1 = 63, \quad q = -\frac{1}{6};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{63}{1 + \frac{1}{6}};\)

\(S = 63 \cdot \frac{6}{7} = 54;\)

Ответ: 54.

4) \(b_1 = -81, \quad q = -\frac{2}{7};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-81}{1 + \frac{2}{7}};\)

\(S = -81 \cdot \frac{7}{9} = -63;\)

Ответ: -63.

1) Рассмотрим первый пример, где первый член прогрессии \(b_1 = 24\), а знаменатель прогрессии \(q = \frac{3}{4}\). Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии, когда \(|q| < 1\), используется формула \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Эта формула вытекает из свойства бесконечной суммы, где каждый следующий член уменьшается по модулю, что обеспечивает сходимость. Подставляя данные значения, получаем \(S = \frac{24}{1 — \frac{3}{4}}\). Вычитаем в знаменателе: \(1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\), тогда сумма равна \(S = \frac{24}{\frac{1}{4}}\). Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную, поэтому \(S = 24 \cdot 4\). Итоговая сумма равна 96.

2) Во втором случае первый член равен \(b_1 = -84\), а знаменатель прогрессии \(q = -\frac{1}{3}\). Опять используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем значения: \(S = \frac{-84}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)}\). Обратите внимание, что вычитание отрицательного числа превращается в сложение, поэтому знаменатель становится \(1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). Теперь выражение для суммы выглядит как \(S = \frac{-84}{\frac{4}{3}}\). Чтобы упростить, умножаем числитель на обратную дробь: \(S = -84 \cdot \frac{3}{4}\). Выполнив умножение, получаем \(S = -63\).

3) В третьем примере первый член прогрессии \(b_1 = 63\), знаменатель \(q = -\frac{1}{6}\). Формула для суммы та же: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем: \(S = \frac{63}{1 — \left(-\frac{1}{6}\right)}\). Вычитание отрицательного числа меняется на сложение, поэтому знаменатель равен \(1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}\). Таким образом, сумма равна \(S = \frac{63}{\frac{7}{6}}\). Деление на дробь заменяем умножением на обратную: \(S = 63 \cdot \frac{6}{7}\). После умножения получаем \(S = 54\).

4) В четвёртом случае первый член равен \(b_1 = -81\), знаменатель прогрессии \(q = -\frac{2}{7}\). Формула суммы остаётся прежней: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем: \(S = \frac{-81}{1 — \left(-\frac{2}{7}\right)}\). Знаменатель становится \(1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}\). Следовательно, сумма равна \(S = \frac{-81}{\frac{9}{7}}\). Умножаем на обратную дробь: \(S = -81 \cdot \frac{7}{9}\). Результат вычисления: \(S = -63\).