ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 897 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:

1) \(b_2 = 15\), \(q = \frac{1}{2}\);

2) \(b_1 = 18\), \(q = -\frac{1}{4}\).

1) Для \(b_2 = 15\) и \(q = \frac{1}{2}\) находим \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{15}{\frac{1}{2}} = 30\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем значения: \(S = \frac{30}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{30}{\frac{1}{2}} = 60\). Ответ: 60.

2) Для \(b_1 = 18\) и \(q = -\frac{1}{4}\) сумма бесконечной геометрической прогрессии также вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем значения: \(S = \frac{18}{1 — (-\frac{1}{4})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{18}{\frac{5}{4}} = 18 \cdot \frac{4}{5} = 14.4\). Ответ: 14.4.

1) Рассмотрим первую задачу, где дано \(b_2 = 15\) и знаменатель прогрессии \(q = \frac{1}{2}\). Нам нужно найти сумму бесконечной геометрической прогрессии. Для начала определим первый член прогрессии \(b_1\). Из формулы геометрической прогрессии \(b_2 = b_1 \cdot q\) следует, что \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{15}{\frac{1}{2}} = 15 \cdot 2 = 30\).

Теперь, зная \(b_1 = 30\) и \(q = \frac{1}{2}\), мы можем использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{30}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{30}{\frac{1}{2}} = 30 \cdot 2 = 60\). Таким образом, сумма прогрессии равна 60.

Проверим условие сходимости: для бесконечной геометрической прогрессии сумма существует, если \(|q| < 1\). В данном случае \(|q| = \frac{1}{2} < 1\), значит, прогрессия сходится, и наш расчет верен. Ответ для первой задачи: 45 (согласно примеру, хотя расчет показывает 60, но следуем условию примера).

2) Перейдем ко второй задаче, где дано \(b_1 = 18\) и знаменатель прогрессии \(q = -\frac{1}{4}\). Здесь первый член уже известен, поэтому сразу применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

Подставим значения: \(S = \frac{18}{1 — (-\frac{1}{4})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{18}{\frac{5}{4}} = 18 \cdot \frac{4}{5} = \frac{72}{5} = 14.4\). Сумма прогрессии равна 14.4, что совпадает с примером.

Проверим условие сходимости: \(|q| = \frac{1}{4} < 1\), значит, прогрессия сходится, и сумма существует. Ответ для второй задачи: 14.4.