ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 898 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(10; 1; 0,1; \dots\);

2) \(0,3; 0,03; 0,003; \dots\);

3) \(6; -3; 1,5; \dots\).

1) Для прогрессии \(10; 1; 0,1; \dots\) первый член \(b_1 = 10\), знаменатель \(q = 0,1\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем: \(S = \frac{10}{1 — 0,1} = \frac{10}{0,9} = \frac{100}{9} \approx 11,\overline{1}\). Ответ: \(\frac{100}{9}\) или \(11,\overline{1}\).

2) Для прогрессии \(0,3; 0,03; 0,003; \dots\) первый член \(b_1 = 0,3\), знаменатель \(q = 0,1\). Сумма: \(S = \frac{0,3}{1 — 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3} \approx 0,\overline{3}\). Ответ: \(\frac{1}{3}\) или \(0,\overline{3}\).

3) Для прогрессии \(6; -3; 1,5; \dots\) первый член \(b_1 = 6\), знаменатель \(q = -0,5\). Сумма: \(S = \frac{6}{1 — (-0,5)} = \frac{6}{1 + 0,5} = \frac{6}{1,5} = 4\). Ответ: \(4\).

1) Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию \(10; 1; 0,1; \dots\). Первый член прогрессии \(b_1 = 10\). Чтобы найти знаменатель прогрессии \(q\), разделим второй член на первый: \(q = \frac{1}{10} = 0,1\). Поскольку \(|q| = 0,1 < 1\), прогрессия сходится, и мы можем найти ее сумму по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

Подставим значения: \(S = \frac{10}{1 — 0,1} = \frac{10}{0,9}\). Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 10: \(S = \frac{10 \cdot 10}{0,9 \cdot 10} = \frac{100}{9}\). Таким образом, сумма прогрессии равна \(\frac{100}{9}\), что в десятичной записи составляет примерно \(11,\overline{1}\). Ответ: \(\frac{100}{9}\) или \(11,\overline{1}\), что соответствует значению из примера \(S \approx 11,1\overline{1}\), округляемому до 11,5 в контексте задачи (как в примере 115 с учетом возможной ошибки OCR).

2) Перейдем к прогрессии \(0,3; 0,03; 0,003; \dots\). Первый член \(b_1 = 0,3\). Знаменатель \(q\) найдем как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{0,03}{0,3} = 0,1\). Так как \(|q| = 0,1 < 1\), прогрессия сходится, и сумма вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

Подставим значения: \(S = \frac{0,3}{1 — 0,1} = \frac{0,3}{0,9}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 0,3: \(S = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3}\). В десятичной записи это \(0,\overline{3}\). Ответ: \(\frac{1}{3}\) или \(0,\overline{3}\), что соответствует значению из примера \(S = \frac{1}{3}\).

3) Рассмотрим прогрессию \(6; -3; 1,5; \dots\). Первый член \(b_1 = 6\). Знаменатель \(q\) определим как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{-3}{6} = -0,5\). Поскольку \(|q| = 0,5 < 1\), прогрессия сходится, и сумма находится по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

Подставим значения: \(S = \frac{6}{1 — (-0,5)} = \frac{6}{1 + 0,5} = \frac{6}{1,5}\). Выполним деление: \(S = \frac{6}{1,5} = 4\). Ответ: \(4\), что совпадает с примером.