ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 899 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(64, 24, 9, \dots\);

2) \(-396, 330, -275, \dots\).

1) Для бесконечной геометрической прогрессии \(64, 24, 9, \dots\) первый член \(b_1 = 64\), а знаменатель \(q = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}\). Так как \(|q| < 1\), сумма существует и вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем: \(S = \frac{64}{1 — \frac{3}{8}} = \frac{64}{\frac{5}{8}} = 64 \cdot \frac{8}{5} = \frac{512}{5} = 102.4\). Ответ: \(102.4\).

2) Для прогрессии \(-396, 330, -275, \dots\) первый член \(b_1 = -396\), а знаменатель \(q = \frac{330}{-396} = -\frac{5}{6}\). Так как \(|q| < 1\), сумма существует: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-396}{1 — (-\frac{5}{6})} = \frac{-396}{1 + \frac{5}{6}} = \frac{-396}{\frac{11}{6}} = -396 \cdot \frac{6}{11} = -216\). Ответ: \(-216\).

1) Рассмотрим первую бесконечную геометрическую прогрессию \(64, 24, 9, \dots\). Для начала определим первый член последовательности, который обозначим как \(b_1\). Здесь \(b_1 = 64\). Далее найдем знаменатель прогрессии \(q\), который является отношением второго члена ко первому: \(q = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}\).

Теперь проверим условие сходимости бесконечной геометрической прогрессии. Для того чтобы сумма существовала, модуль знаменателя должен быть меньше единицы: \(|q| = \left|\frac{3}{8}\right| = \frac{3}{8} < 1\). Условие выполняется, значит, мы можем найти сумму.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим наши значения: \(S = \frac{64}{1 — \frac{3}{8}}\). Вычислим знаменатель: \(1 — \frac{3}{8} = \frac{8}{8} — \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\). Таким образом, \(S = \frac{64}{\frac{5}{8}}\).

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную дробь: \(S = 64 \cdot \frac{8}{5} = \frac{64 \cdot 8}{5} = \frac{512}{5}\). Переведем результат в десятичную дробь: \(\frac{512}{5} = 102.4\). Итак, сумма первой прогрессии равна \(102.4\). Ответ: \(102.4\).

2) Перейдем ко второй бесконечной геометрической прогрессии \(-396, 330, -275, \dots\). Определим первый член последовательности: \(b_1 = -396\). Теперь вычислим знаменатель прогрессии \(q\) как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{330}{-396} = -\frac{330}{396}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \(66\): \(330 \div 66 = 5\), \(396 \div 66 = 6\), следовательно, \(q = -\frac{5}{6}\).

Проверим условие сходимости: \(|q| = \left|-\frac{5}{6}\right| = \frac{5}{6} < 1\). Условие выполняется, значит, сумма бесконечной прогрессии существует.

Применяем формулу суммы: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{-396}{1 — (-\frac{5}{6})}\). Упростим знаменатель: \(1 — (-\frac{5}{6}) = 1 + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}\). Таким образом, \(S = \frac{-396}{\frac{11}{6}}\).

Умножим на обратную дробь: \(S = -396 \cdot \frac{6}{11}\). Выполним умножение: \(-396 \cdot 6 = -2376\), затем \(-2376 \div 11 = -216\). Итак, сумма второй прогрессии равна \(-216\). Ответ: \(-216\).