ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) \((p — 3)(p + 4) < p(p + 1)\);

2) \((x + 1)^2 > x(x + 2)\);

3) \((a — 5)(a + 2) > (a + 5)(a — 8)\);

4) \(y(y + 8) < (y + 4)^2\);

5) \((2a — 5)^2 \leq 6a^2 — 20a + 25\);

6) \(a^2 + 4 \geq 4a\).

1) \((p — 3)(p + 4) < p(p + 1);\)
\(p^2 + 4p — 3p — 12 < p^2 + p;\)
\(p^2 + p — 12 < p^2 + p,\)
\(-12 < 0;\)
Неравенство доказано.

2) \((x + 1)^2 > x(x + 2);\)
\(x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x;\)
\(x^2 + 1 > x^2,\)
\(1 > 0;\)
Неравенство доказано.

3) \((a — 5)(a + 2) > (a + 5)(a — 8);\)
\(a^2 + 2a — 5a — 10 > a^2 — 8a + 5a — 40;\)
\(a^2 — 3a — 10 > a^2 — 3a — 40,\)
\(-10 > -40;\)
Неравенство доказано.

4) \(y(y + 8) < (y + 4)^2;\)
\(y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16;\)
\(y^2 < y^2 + 16,\)
\(0 < 16;\)
Неравенство доказано.

5) \((2a — 5)^2 \leq 6a^2 — 20a + 25;\)
\(4a^2 — 20a + 25 \leq 6a^2 — 20a + 25;\)
\(4a^2 \leq 6a^2,\)
\(0 \leq 2a^2;\)
Неравенство доказано.

6) \(a^2 + 4 \geq 4a;\)
\(a^2 — 4a + 4 \geq 0;\)
\((a — 2)^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

1) Раскроем скобки в левой части: \((p — 3)(p + 4) = p^2 + 4p — 3p — 12 = p^2 + p — 12.\) Правая часть равна \(p(p + 1) = p^2 + p.\) Подставим в неравенство: \(p^2 + p — 12 < p^2 + p.\) Вычтем \(p^2 + p\) из обеих частей: \(-12 < 0.\) Это верно при любом \(p\), значит неравенство доказано.

2) Раскроем скобки слева: \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.\) Справа: \(x(x + 2) = x^2 + 2x.\) Подставим в неравенство: \(x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x.\) Вычтем \(x^2 + 2x\) из обеих частей: \(1 > 0.\) Это всегда верно, значит неравенство доказано.

3) Раскроем скобки слева: \((a — 5)(a + 2) = a^2 + 2a — 5a — 10 = a^2 — 3a — 10.\) Справа: \((a + 5)(a — 8) = a^2 — 8a + 5a — 40 = a^2 — 3a — 40.\) Подставим: \(a^2 — 3a — 10 > a^2 — 3a — 40.\) Вычтем \(a^2 — 3a\) из обеих частей: \(-10 > -40.\) Верно, значит неравенство доказано.

4) Раскроем скобки слева: \(y(y + 8) = y^2 + 8y.\) Справа: \((y + 4)^2 = y^2 + 8y + 16.\) Подставим: \(y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16.\) Вычтем \(y^2 + 8y\) из обеих частей: \(0 < 16.\) Это верно, значит неравенство доказано.

5) Раскроем левую часть: \((2a — 5)^2 = 4a^2 — 20a + 25.\) Правая часть: \(6a^2 — 20a + 25.\) Подставим в неравенство: \(4a^2 — 20a + 25 \leq 6a^2 — 20a + 25.\) Вычтем \(- 20a + 25\) из обеих частей: \(4a^2 \leq 6a^2.\) Вычтем \(4a^2\): \(0 \leq 2a^2.\) Это верно при любом \(a\), значит неравенство доказано.

6) Перенесем все в одну сторону: \(a^2 + 4 \geq 4a \Rightarrow a^2 — 4a + 4 \geq 0.\) Запишем как квадрат двучлена: \((a — 2)^2 \geq 0.\) Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно при любом \(a\).