ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 900 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) \(0,1111 \dots\);

2) \(0,(5)\);

3) \(0,(24)\);

4) \(0,416416416 \dots\);

5) \(0,2666 \dots\);

6) \(0,6252525 \dots\);

7) \(1,181818 \dots\);

8) \(2,3(36)\).

1) \(0,1111 \dots = \frac{1}{9}\). Периодическая дробь с цифрой 1, повторяющейся бесконечно, преобразуется по формуле суммы геометрической прогрессии с первым членом \(0,1\) и знаменателем \(0,1\).

2) \(0,(5) = \frac{5}{9}\). Периодическая дробь с цифрой 5, повторяющейся бесконечно, преобразуется аналогично с первым членом \(0,5\) и знаменателем \(0,1\).

3) \(0,(24) = \frac{8}{33}\). Период из двух цифр 24, первый член \(0,24\), знаменатель \(0,01\), сумма прогрессии дает результат.

4) \(0,416416416 \dots = \frac{416}{999}\). Период из трех цифр 416, первый член \(0,416\), знаменатель \(0,001\), сумма прогрессии приводит к дроби.

5) \(0,2666 \dots = \frac{4}{15}\). Непериодическая часть \(0,2\), периодическая часть \(0,0666 \dots\) с цифрой 6, преобразуется в сумму с первым членом \(0,006\) и знаменателем \(0,1\).

6) \(0,6252525 \dots = \frac{619}{990}\). Непериодическая часть \(0,6\), периодическая часть \(0,0252525 \dots\) с периодом 25, первый член \(0,025\), знаменатель \(0,01\), сумма прогрессии дает результат.

7) \(1,181818 \dots = \frac{13}{11}\). Целая часть 1, периодическая часть \(0,181818 \dots\) с периодом 18, первый член \(0,18\), знаменатель \(0,01\), сумма прогрессии приводит к дроби.

8) \(2,3(36) = \frac{257}{110}\). Целая часть \(2,3\), периодическая часть \(0,0363636 \dots\) с периодом 36, первый член \(0,036\), знаменатель \(0,01\), сумма прогрессии дает результат.

1) Для представления дроби \(0,1111 \dots\) в виде обыкновенной дроби заметим, что это периодическая дробь с периодом 1. Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии, где первый член \(b_1 = 0,1\), а знаменатель \(q = 0,1\). Формула суммы такой прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{0,1}{1 — 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}\). Таким образом, ответ: \(\frac{1}{9}\).

2) Для дроби \(0,(5)\) имеем периодическую дробь с периодом 5. Первый член геометрической прогрессии \(b_1 = 0,5\), знаменатель \(q = 0,1\). Сумма прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,5}{1 — 0,1} = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9}\). Ответ: \(\frac{5}{9}\).

3) Дробь \(0,(24)\) имеет период из двух цифр 24. Первый член прогрессии \(b_1 = 0,24\), знаменатель \(q = 0,01\). Сумма: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,24}{1 — 0,01} = \frac{0,24}{0,99} = \frac{24}{99} = \frac{8}{33}\). Ответ: \(\frac{8}{33}\).

4) Для дроби \(0,416416416 \dots\) период состоит из трех цифр 416. Первый член \(b_1 = 0,416\), знаменатель \(q = 0,001\). Сумма прогрессии: \(S = \frac{0,416}{1 — 0,001} = \frac{0,416}{0,999} = \frac{416}{999}\). Ответ: \(\frac{416}{999}\).

5) Дробь \(0,2666 \dots\) состоит из непериодической части \(0,2\) и периодической части \(0,0666 \dots\). Рассмотрим периодическую часть как сумму прогрессии с первым членом \(b_1 = 0,06\), знаменателем \(q = 0,1\). Сумма: \(S_{\text{период}} = \frac{0,06}{1 — 0,1} = \frac{0,06}{0,9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}\). Добавим непериодическую часть: \(S = 0,2 + \frac{1}{15} = \frac{2}{10} + \frac{1}{15} = \frac{6}{30} + \frac{2}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}\). Ответ: \(\frac{4}{15}\).

6) Для дроби \(0,6252525 \dots\) выделим непериодическую часть \(0,6\) и периодическую часть \(0,0252525 \dots\). Период состоит из двух цифр 25, первый член \(b_1 = 0,025\), знаменатель \(q = 0,01\). Сумма периодической части: \(S_{\text{период}} = \frac{0,025}{1 — 0,01} = \frac{0,025}{0,99} = \frac{25}{990}\). Добавим непериодическую часть: \(S = 0,6 + \frac{25}{990} = \frac{6}{10} + \frac{25}{990} = \frac{594}{990} + \frac{25}{990} = \frac{619}{990}\). Ответ: \(\frac{619}{990}\).

7) Дробь \(1,181818 \dots\) состоит из целой части 1 и периодической части \(0,181818 \dots\). Период из двух цифр 18, первый член \(b_1 = 0,18\), знаменатель \(q = 0,01\). Сумма периодической части: \(S_{\text{период}} = \frac{0,18}{1 — 0,01} = \frac{0,18}{0,99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}\). Добавим целую часть: \(S = 1 + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} + \frac{2}{11} = \frac{13}{11}\). Ответ: \(\frac{13}{11}\).

8) Для дроби \(2,3(36)\) выделим часть до периода \(2,3\) и периодическую часть \(0,0363636 \dots\). Период из двух цифр 36, первый член \(b_1 = 0,036\), знаменатель \(q = 0,01\). Сумма периодической части: \(S_{\text{период}} = \frac{0,036}{1 — 0,01} = \frac{0,036}{0,99} = \frac{36}{990} = \frac{2}{55}\). Добавим часть до периода: \(S = 2,3 + \frac{2}{55} = \frac{23}{10} + \frac{2}{55} = \frac{253}{110} + \frac{4}{110} = \frac{257}{110}\). Ответ: \(\frac{257}{110}\).