ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 901 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) \(0,222 \dots\);

2) \(0,666 \dots\);

3) \(0,(28)\);

4) \(0,1777 \dots\);

5) \(3,454545 \dots\);

6) \(1,4(12)\).

1) \(0,222 \dots = \frac{2}{9}\). Периодическая дробь с цифрой 2, повторяющейся бесконечно, преобразуется по формуле суммы геометрической прогрессии: \(0,2 + 0,02 + 0,002 + \dots\), где первый член \(b_1 = 0,2\), а знаменатель \(q = 0,1\). Сумма \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,2}{1 — 0,1} = \frac{0,2}{0,9} = \frac{2}{9}\).

2) \(0,666 \dots = \frac{2}{3}\). Периодическая дробь с цифрой 6. Первый член \(b_1 = 0,6\), \(q = 0,1\). Сумма \(S = \frac{0,6}{1 — 0,1} = \frac{0,6}{0,9} = \frac{2}{3}\).

3) \(0,(28) = \frac{28}{99}\). Период из двух цифр 28. Первый член \(b_1 = 0,28\), \(q = 0,01\). Сумма \(S = \frac{0,28}{1 — 0,01} = \frac{0,28}{0,99} = \frac{28}{99}\).

4) \(0,1777 \dots = \frac{8}{45}\). Дробь состоит из \(0,1 + 0,0777 \dots\). Для \(0,0777 \dots\): \(b_1 = 0,07\), \(q = 0,1\), сумма \(S_1 = \frac{0,07}{1 — 0,1} = \frac{0,07}{0,9} = \frac{7}{90}\). Итог: \(0,1 + \frac{7}{90} = \frac{9}{90} + \frac{7}{90} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}\).

5) \(3,454545 \dots = \frac{38}{11}\). Дробь равна \(3 + 0,454545 \dots\). Для \(0,454545 \dots\): \(b_1 = 0,45\), \(q = 0,01\), сумма \(S_1 = \frac{0,45}{1 — 0,01} = \frac{0,45}{0,99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}\). Итог: \(3 + \frac{5}{11} = \frac{33}{11} + \frac{5}{11} = \frac{38}{11}\).

6) \(1,4(12) = \frac{233}{165}\). Дробь равна \(1,4 + 0,0121212 \dots\). Для \(0,0121212 \dots\): \(b_1 = 0,012\), \(q = 0,01\), сумма \(S_1 = \frac{0,012}{1 — 0,01} = \frac{0,012}{0,99} = \frac{12}{990} = \frac{2}{165}\). Итог: \(1,4 + \frac{2}{165} = \frac{14}{10} + \frac{2}{165} = \frac{231}{165} + \frac{2}{165} = \frac{233}{165}\).

1) Для представления бесконечной десятичной дроби \(0,222 \dots\) в виде обыкновенной дроби замечаем, что это периодическая дробь с периодом, состоящим из одной цифры 2. Мы можем записать её как сумму бесконечной геометрической прогрессии: \(0,222 \dots = 0,2 + 0,02 + 0,002 + \dots\). Здесь первый член прогрессии \(b_1 = 0,2\), а общий знаменатель \(q = 0,1\), так как каждый следующий член получается делением на 10.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{0,2}{1 — 0,1} = \frac{0,2}{0,9}\). Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10: \(\frac{0,2}{0,9} = \frac{2}{9}\). Таким образом, \(0,222 \dots = \frac{2}{9}\).

2) Рассмотрим дробь \(0,666 \dots\). Это также периодическая дробь с периодом из одной цифры 6. Представим её как сумму: \(0,666 \dots = 0,6 + 0,06 + 0,006 + \dots\). Первый член прогрессии \(b_1 = 0,6\), а общий знаменатель \(q = 0,1\).

Используем формулу суммы: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,6}{1 — 0,1} = \frac{0,6}{0,9}\). Умножим числитель и знаменатель на 10: \(\frac{0,6}{0,9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Таким образом, \(0,666 \dots = \frac{2}{3}\).

3) Дробь \(0,(28)\) имеет период из двух цифр — 28. Представим её как сумму: \(0,(28) = 0,28 + 0,0028 + 0,000028 + \dots\). Здесь первый член \(b_1 = 0,28\), а общий знаменатель \(q = 0,01\), так как каждый следующий член уменьшается в 100 раз.

Применим формулу суммы: \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,28}{1 — 0,01} = \frac{0,28}{0,99}\). Умножим числитель и знаменатель на 100: \(\frac{0,28}{0,99} = \frac{28}{99}\). Таким образом, \(0,(28) = \frac{28}{99}\).

4) Для дроби \(0,1777 \dots\) видим, что она состоит из непериодической части 0,1 и периодической части 0,0777 \dots. Представим её как \(0,1 + 0,0777 \dots\). Для периодической части \(0,0777 \dots = 0,07 + 0,007 + 0,0007 + \dots\), где \(b_1 = 0,07\), \(q = 0,1\).

Сумма периодической части: \(S_1 = \frac{0,07}{1 — 0,1} = \frac{0,07}{0,9}\). Умножим на 10: \(\frac{0,07}{0,9} = \frac{0,7}{9} = \frac{7}{90}\). Теперь сложим с непериодической частью: \(0,1 + \frac{7}{90} = \frac{1}{10} + \frac{7}{90}\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{9}{90} + \frac{7}{90} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}\). Таким образом, \(0,1777 \dots = \frac{8}{45}\).

5) Дробь \(3,454545 \dots\) состоит из целой части 3 и периодической дробной части \(0,454545 \dots\). Представим её как \(3 + 0,454545 \dots\). Для дробной части: \(0,454545 \dots = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + \dots\), где \(b_1 = 0,45\), \(q = 0,01\).

Сумма дробной части: \(S_1 = \frac{0,45}{1 — 0,01} = \frac{0,45}{0,99}\). Умножим на 100: \(\frac{0,45}{0,99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}\). Теперь сложим с целой частью: \(3 + \frac{5}{11} = \frac{33}{11} + \frac{5}{11} = \frac{38}{11}\). Таким образом, \(3,454545 \dots = \frac{38}{11}\).

6) Дробь \(1,4(12)\) состоит из части 1,4 и периодической части \(0,0121212 \dots\). Представим её как \(1,4 + 0,0121212 \dots\). Для периодической части: \(0,0121212 \dots = 0,012 + 0,00012 + 0,0000012 + \dots\), где \(b_1 = 0,012\), \(q = 0,01\).

Сумма периодической части: \(S_1 = \frac{0,012}{1 — 0,01} = \frac{0,012}{0,99}\). Умножим на 1000: \(\frac{0,012}{0,99} = \frac{12}{990} = \frac{2}{165}\). Теперь сложим с непериодической частью: \(1,4 + \frac{2}{165} = \frac{14}{10} + \frac{2}{165}\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{14}{10} = \frac{231}{165}\), итого \(\frac{231}{165} + \frac{2}{165} = \frac{233}{165}\). Таким образом, \(1,4(12) = \frac{233}{165}\).