ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 902 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(\sqrt{2}, -1, \frac{\sqrt{2}}{2}, \dots\);

2) \(3\sqrt{3}, 3, \sqrt{3}, \dots\);

3) \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, 1, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, \dots\).

1) \(\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; \ldots;\)

\(b_1 = \sqrt{2}, \quad b_2 = -1, \quad q = -\frac{1}{\sqrt{2}};\)

\(S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1};\)

\(S = \frac{2(\sqrt{2} — 1)}{2 — 1} = 2(\sqrt{2} — 1);\)

Ответ: \(2(\sqrt{2} — 1)\).

2) \(3\sqrt{3}; 3; \sqrt{3}; \ldots;\)

\(b_1 = 3\sqrt{3}, \quad b_2 = 3, \quad q = \frac{1}{\sqrt{3}};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{3\sqrt{3}}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{9}{\sqrt{3} — 1};\)

\(S = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{3 — 1} = \frac{9}{2}(\sqrt{3} + 1);\)

Ответ: \(\frac{9}{2}(\sqrt{3} + 1)\).

3) \(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}; 1; \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}; \ldots;\)

\(b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}, \quad b_2 = 1, \quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{1 — \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 — 1 — (\sqrt{3} — 1)^2};\)

\(S = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2 — 3 + 2\sqrt{3} — 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} — 2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1};\)

\(S = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3\sqrt{3} + 3 + 2}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 5}{2};\)

Ответ: \(\frac{3\sqrt{3} + 5}{2}\).

Рассмотрим первый пример. Дана последовательность: \(\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; \ldots\). Здесь мы видим, что первые два члена последовательности \(b_1 = \sqrt{2}\) и \(b_2 = -1\). Чтобы найти знаменатель прогрессии \(q\), нужно разделить второй член на первый: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\). Это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на \(q\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{\sqrt{2}}{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}\). Чтобы упростить дробь, домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), получим \(S = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1}\).

Далее упростим знаменатель. Заметим, что \(\sqrt{2} + 1\) можно рационализировать, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2} — 1\): \(S = \frac{2}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{2(\sqrt{2} — 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1)}\). В знаменателе использована формула разности квадратов, то есть \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\), поэтому \((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1) = (\sqrt{2})^2 — 1^2 = 2 — 1 = 1\). Таким образом, сумма равна \(S = 2(\sqrt{2} — 1)\). Это и есть ответ.

Во втором примере дана последовательность: \(3\sqrt{3}; 3; \sqrt{3}; \ldots\). Первый член \(b_1 = 3\sqrt{3}\), второй \(b_2 = 3\). Знаменатель прогрессии находим как \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{3\sqrt{3}}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}}\). Чтобы упростить знаменатель, выразим его через общий знаменатель: \(1 — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}\). Тогда \(S = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1} = \frac{9}{\sqrt{3} — 1}\).

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} + 1\): \(S = \frac{9}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 — 1^2} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{3 — 1} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{9}{2}(\sqrt{3} + 1)\). Это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Рассмотрим третий пример подробнее. Дана последовательность: \(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}; 1; \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}; \ldots\).

Первый член прогрессии равен \(b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}\), второй член \(b_2 = 1\). Знаменатель прогрессии вычисляем как отношение второго члена к первому:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) равна
\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{1 — \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}}\).

Упростим знаменатель:
\(1 — \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} — \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) — (\sqrt{3} — 1)}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}\).

Подставим обратно:
\(S = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2(\sqrt{3} — 1)}\).

Раскроем квадрат в числителе:
\((\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\).

Таким образом,
\(S = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3} — 1)} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2(\sqrt{3} — 1)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1}\).

Рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} + 1\):
\(S = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 — 1^2} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{3 — 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2}\).

Раскроем произведение в числителе:
\(2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3} = 3+ 3\sqrt{3}\).

Ответ: сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(\frac{3\sqrt{3} + 5}{2}\).