ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 905 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(-60\), а её первый член равен \(-65\). Найдите знаменатель прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(S = -60\), а \(b_1 = -65\). Подставим значения: \(-60 = \frac{-65}{1 — q}\). Умножим обе части на \(1 — q\): \(-60(1 — q) = -65\). Раскроем скобки: \(-60 + 60q = -65\). Перенесём \(-60\) в другую сторону: \(60q = -65 + 60\), то есть \(60q = -5\). Тогда \(q = \frac{-5}{60} = -\frac{1}{12}\). Ответ: \(-\frac{1}{12}\).

1. Для решения задачи о бесконечной геометрической прогрессии нам даны сумма прогрессии \(S = -60\) и первый член прогрессии \(b_1 = -65\). Наша цель — найти знаменатель прогрессии \(q\), который является отношением между последовательными членами прогрессии.

2. Мы знаем, что сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(S\) — сумма прогрессии, \(b_1\) — первый член, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Эта формула применима, если \(|q| < 1\), то есть прогрессия сходится.

3. Подставим известные значения в формулу: \(S = -60\) и \(b_1 = -65\). Получаем уравнение \(-60 = \frac{-65}{1 — q}\). Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(q\).

4. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(1 — q\). Это даёт нам \(-60 \cdot (1 — q) = -65\). Раскроем скобки в левой части: \(-60 \cdot 1 + (-60) \cdot (-q) = -60 + 60q\).

5. Таким образом, уравнение принимает вид \(-60 + 60q = -65\). Чтобы изолировать слагаемое с \(q\), перенесём константу \(-60\) в правую часть уравнения, прибавив \(60\) к обеим сторонам: \(-60 + 60q + 60 = -65 + 60\).

6. Упростим обе части: \(60q = -5\). Теперь разделим обе части на \(60\), чтобы найти \(q\): \(q = \frac{-5}{60}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \(5\): \(q = \frac{-1}{12}\).

7. Таким образом, знаменатель прогрессии равен \(-\frac{1}{12}\). Проверим, удовлетворяет ли это значение условию сходимости прогрессии, то есть \(|q| < 1\). Вычислим модуль: \(|-\frac{1}{12}| = \frac{1}{12}\), что меньше \(1\), значит, условие выполнено.

8. Для дополнительной проверки подставим найденное значение \(q = -\frac{1}{12}\) обратно в формулу суммы: \(1 — q = 1 — (-\frac{1}{12}) = 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}\). Тогда \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-65}{\frac{13}{12}} = -65 \cdot \frac{12}{13} = -5 \cdot 12 = -60\), что совпадает с заданной суммой.

9. Итак, наше решение подтверждается. Знаменатель прогрессии \(q = -\frac{1}{12}\) является правильным, так как он удовлетворяет всем условиям задачи и даёт верное значение суммы.

10. Ответ: \(-\frac{1}{12}\).