ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 906 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если:

1) \(b_3 = 4\), \(b_5 = 2\);

2) \(b_1 + b_3 = 20\), \(b_2 + b_4 = 25\).

1) \( b_3 = 4, \quad b_5 = 2; \)
\( b_5 = b_3 q^2, \quad q^2 = \frac{b_5}{b_3}; \)
\( q^2 = \frac{4}{2} = \frac{1}{2}, \quad q = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}; \)
\( b_1 = \frac{b_3}{q^2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 2 = 8; \)
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{8}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}; \)
\( S = \frac{8 \sqrt{2} (\sqrt{2} + 1)}{2 — 1} = 16 \pm 8 \sqrt{2}; \)
Ответ: \(16 \pm 8 \sqrt{2}\).

2) \( b_1 + b_3 = 20, \quad b_2 + b_4 = \frac{20}{3}; \)
\( b_1 + b_1 q^2 = 20, \quad b_1 (1 + q^2) = 20; \)
\( b_1 q + b_1 q^3 = \frac{20}{3}, \quad b_1 q (1 + q^2) = \frac{20}{3}; \)
\( 20 q = \frac{20}{3}, \quad q = \frac{1}{3}, \quad b_1 = \frac{20}{1 + \frac{1}{9}} = 18; \)
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{18}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{54}{3 — 1} = 27; \)
Ответ: 27.

В первом примере дана информация о двух членах геометрической прогрессии: \( b_3 = 4 \) и \( b_5 = 2 \). Из определения геометрической прогрессии известно, что любой член можно выразить через первый член \( b_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \) по формуле \( b_n = b_1 q^{n-1} \). В данном случае уравнение для пятого члена через третий будет выглядеть как \( b_5 = b_3 q^2 \), так как между третьим и пятым членом разница в два шага, то есть степень \( q \) равна 2. Подставляя известные значения, получаем \( 2 = 4 q^2 \), откуда \( q^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Следовательно, знаменатель прогрессии равен \( q = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Далее необходимо найти первый член прогрессии \( b_1 \). Для этого используем формулу \( b_3 = b_1 q^2 \), где \( b_3 = 4 \), а \( q^2 = \frac{1}{2} \). Перепишем уравнение как \( b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8 \). Теперь, зная \( b_1 \) и \( q \), можно вычислить сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, если \( |q| < 1 \), по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставляя значения, получаем \( S = \frac{8}{1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 1 \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \), что даёт \( S = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \pm 1} \).

Для упрощения выражения умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \mp 1 \), получая \( S = \frac{8 \sqrt{2} (\sqrt{2} \mp 1)}{2 — 1} = 8 \sqrt{2} (\sqrt{2} \mp 1) \). Раскрывая скобки, имеем \( S = 8 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \mp 8 \sqrt{2} = 16 \mp 8 \sqrt{2} \). Таким образом, сумма бесконечной прогрессии равна \( 16 \pm 8 \sqrt{2} \).

Во втором примере даны суммы членов прогрессии: \( b_1 + b_3 = 20 \) и \( b_2 + b_4 = \frac{20}{3} \). Поскольку это геометрическая прогрессия, члены связаны соотношениями \( b_2 = b_1 q \), \( b_3 = b_1 q^2 \), \( b_4 = b_1 q^3 \). Подставляя эти выражения в данные суммы, получаем систему уравнений: \( b_1 + b_1 q^2 = 20 \) и \( b_1 q + b_1 q^3 = \frac{20}{3} \). Вынесем \( b_1 \) за скобки: \( b_1 (1 + q^2) = 20 \) и \( b_1 q (1 + q^2) = \frac{20}{3} \).

Делим второе уравнение на первое, чтобы найти \( q \):
\[
\frac{b_1 q (1 + q^2)}{b_1 (1 + q^2)} = \frac{\frac{20}{3}}{20} \Rightarrow q = \frac{1}{3}.
\]
Теперь, подставляя \( q = \frac{1}{3} \) в первое уравнение, находим \( b_1 \):
\[
b_1 (1 + \frac{1}{9}) = 20 \Rightarrow b_1 \cdot \frac{10}{9} = 20 \Rightarrow b_1 = \frac{20 \cdot 9}{10} = 18.
\]

Зная \( b_1 \) и \( q \), вычисляем сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставляя числа, получаем:
\[
S = \frac{18}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27.
\]
Таким образом, сумма бесконечной прогрессии равна 27.