ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 910 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(256\), а сумма трёх её первых членов равна \(252\). Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(256\), значит \(S = \frac{b_1}{1 — q} = 256\), где \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель. Сумма первых трёх членов равна \(252\), то есть \(S_3 = b_1(1 + q + q^2) = 252\). Подставим \(b_1 = 256(1 — q)\) из первого уравнения во второе: \(256(1 — q)(1 + q + q^2) = 252\). Упростим: \(256(1 — q^3) = 252\). Тогда \(1 — q^3 = \frac{252}{256} = \frac{63}{64}\), откуда \(q^3 = 1 — \frac{63}{64} = \frac{1}{64}\), значит \(q = \frac{1}{4}\). Теперь найдём \(b_1 = 256 \cdot (1 — \frac{1}{4}) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 192\). Ответ: \(b_1 = 192\), \(q = \frac{1}{4}\).

Дана бесконечная геометрическая прогрессия, сумма которой равна \(256\), а сумма первых трёх членов равна \(252\). Необходимо найти первый член прогрессии \(b_1\) и знаменатель \(q\).

Для бесконечной геометрической прогрессии с \(|q| < 1\) сумма выражается формулой \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Согласно условию, \(S = 256\), следовательно, получаем первое уравнение: \(256 = \frac{b_1}{1 — q}\). Выразим из этого уравнения \(b_1\): \(b_1 = 256 \cdot (1 — q)\).

Далее, сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна \(S_3 = b_1 \cdot (1 + q + q^2)\), и по условию \(S_3 = 252\). Подставим выражение для \(b_1\) из первого уравнения во второе: \(256 \cdot (1 — q) \cdot (1 + q + q^2) = 252\).

Упростим выражение в скобках. Заметим, что \((1 — q) \cdot (1 + q + q^2) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot q + 1 \cdot q^2 — q \cdot 1 — q \cdot q — q \cdot q^2 =\)
\(= 1 + q + q^2 — q — q^2 — q^3 = 1 — q^3\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(256 \cdot (1 — q^3) = 252\).

Разделим обе части уравнения на \(256\): \(1 — q^3 = \frac{252}{256}\). Упростим дробь: \(\frac{252}{256} = \frac{252 \div 4}{256 \div 4} = \frac{63}{64}\). Итак, \(1 — q^3 = \frac{63}{64}\). Тогда \(q^3 = 1 — \frac{63}{64} = \frac{1}{64}\).

Извлечём кубический корень: \(q = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\), поскольку \(\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}\). Так как прогрессия сходится (сумма конечна), \(|q| < 1\), и значение \(q = \frac{1}{4}\) удовлетворяет этому условию.

Теперь найдём \(b_1\), подставив \(q = \frac{1}{4}\) в выражение для первого члена: \(b_1 = 256 \cdot \left(1 — \frac{1}{4}\right) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 192\).

Проверим правильность решения. Сумма первых трёх членов: \(b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 192 + 192 \cdot \frac{1}{4} + 192 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 192 + 48 + 12 = 252\), что совпадает с условием. Сумма бесконечной прогрессии: \(\frac{b_1}{1 — q} = \frac{192}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{192}{\frac{3}{4}} = 192 \cdot \frac{4}{3} = 256\), что также совпадает с условием.

Таким образом, первый член прогрессии равен \(192\), а знаменатель равен \(\frac{1}{4}\). Ответ: \(b_1 = 192\), \(q = \frac{1}{4}\).