ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 915 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов.

Для бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(b_1\), сумма всех членов равна \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(q\) — знаменатель прогрессии, и \(|q| < 1\). По условию, первый член в 1,5 раза больше суммы остальных членов, то есть \(b_1 = 1.5 \cdot (S — b_1)\). Подставим \(S\): \(b_1 = 1.5 \cdot \left(\frac{b_1}{1 — q} — b_1\right)\). Упростим: \(b_1 = 1.5 \cdot b_1 \cdot \left(\frac{1}{1 — q} — 1\right) = 1.5 \cdot b_1 \cdot \frac{q}{1 — q}\). Сократим на \(b_1\) (так как \(b_1 \neq 0\)): \(1 = 1.5 \cdot \frac{q}{1 — q}\). Умножим обе части на \(1 — q\): \(1 — q = 1.5q\). Тогда \(1 = 2.5q\), откуда \(q = \frac{1}{2.5} = 0.4 = \frac{2}{5}\).

Ответ: \(q = \frac{2}{5}\).

1. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию, первый член которой обозначим как \(b_1\), а знаменатель прогрессии как \(q\). Известно, что сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии, при условии \(|q| < 1\), выражается формулой \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). По условию задачи, первый член прогрессии в 1,5 раза больше суммы всех остальных членов. Сумма остальных членов равна \(S — b_1\), следовательно, можно записать уравнение: \(b_1 = 1.5 \cdot (S — b_1)\).

2. Подставим выражение для суммы \(S\) в уравнение. Имеем \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), значит \(S — b_1 = \frac{b_1}{1 — q} — b_1\). Приведем это выражение к общему знаменателю: \(S — b_1 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{1 — q} — 1\right) = b_1 \cdot \frac{1 — (1 — q)}{1 — q} = b_1 \cdot \frac{q}{1 — q}\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(b_1 = 1.5 \cdot b_1 \cdot \frac{q}{1 — q}\).

3. Так как \(b_1 \neq 0\) (первый член прогрессии не может быть нулем), мы можем сократить обе части уравнения на \(b_1\). Получаем: \(1 = 1.5 \cdot \frac{q}{1 — q}\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на \(1 — q\): \(1 \cdot (1 — q) = 1.5 \cdot q\). Это дает нам уравнение: \(1 — q = 1.5q\).

4. Перенесем все слагаемые, содержащие \(q\), в одну сторону уравнения. Сложим \(q\) с обеих сторон: \(1 = 1.5q + q\), что равно \(1 = 2.5q\). Теперь выразим \(q\): \(q = \frac{1}{2.5}\). Чтобы привести это к дробному виду, запишем \(2.5 = \frac{5}{2}\), следовательно, \(q = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}\).

5. Проверим условие сходимости бесконечной геометрической прогрессии. Для сходимости необходимо, чтобы \(|q| < 1\). В нашем случае \(q = \frac{2}{5} = 0.4\), и \(|0.4| < 1\), значит, условие выполнено, и решение корректно.

6. Таким образом, знаменатель прогрессии равен \(\frac{2}{5}\). Ответ совпадает с примером, где указано \(q = \frac{2}{5}\).