ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 916 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Дана прогрессия: \(S_2 = 8(S — S_2);\)

Найдём знаменатель:
\[
\frac{b_1(1 — q^2)}{1 — q} = 8 \left(\frac{b_1}{1 — q} — \frac{b_1(1 — q^2)}{1 — q}\right);
\]

\[
b_1 \cdot (1 + q) = \frac{8b_1}{1 — q} — 8b_1 \cdot (1 + q);
\]

\[
9b_1(1 + q) = \frac{8b_1}{1 — q}, \quad 9(1 — q^2) = 8;
\]

\[
9q^2 = 1, \quad q^2 = \frac{1}{9}, \quad q = \pm \frac{1}{3};
\]

Ответ: \(-\frac{1}{3}; \quad \frac{1}{3}\).

Дана прогрессия, для которой известно равенство второго члена суммы \(S_2\) и выражение через сумму \(S\): \(S_2 = 8(S — S_2)\). Это уравнение связывает частичную сумму первых двух членов с разницей между полной суммой и этой частичной суммой, умноженной на 8. Чтобы найти знаменатель прогрессии \(q\), нужно выразить его через известные параметры.

Для этого вводим первый член прогрессии \(b_1\) и знаменатель \(q\). Сумма первых двух членов геометрической прогрессии равна \(S_2 = b_1 + b_1 q = b_1(1 + q)\). Полная сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) равна \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем: \[ b_1(1 + q) = 8 \left(\frac{b_1}{1 - q} - b_1(1 + q)\right). \] Раскрывая скобки и упрощая, получаем: \[ b_1(1 + q) = \frac{8b_1}{1 - q} - 8b_1(1 + q). \] Переносим все члены с \(b_1(1 + q)\) в одну сторону: \[ b_1(1 + q) + 8b_1(1 + q) = \frac{8b_1}{1 - q}, \] что даёт \[ 9b_1(1 + q) = \frac{8b_1}{1 - q}. \] Умножая обе части на знаменатели и сокращая на \(b_1\) (при \(b_1 \neq 0\)), получаем: \[ 9(1 + q)(1 - q) = 8. \] Раскрываем скобки: \[ 9(1 - q^2) = 8. \] Отсюда \[ 9 - 9q^2 = 8, \] или \[ 9q^2 = 1. \] Делим обе части на 9: \[ q^2 = \frac{1}{9}. \] Извлекая корень, получаем два значения знаменателя: \[ q = \pm \frac{1}{3}. \] Таким образом, знаменатель прогрессии может быть либо \(\frac{1}{3}\), либо \(-\frac{1}{3}\), что соответствует двум возможным вариантам знака при сохранении условия сходимости прогрессии и выполнении исходного уравнения. Ответ: \(-\frac{1}{3}; \quad \frac{1}{3}\).