ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 917 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В квадрат со стороной \(a\) вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 108). Найдите сумму площадей всех квадратов.

Сумма площадей всех квадратов равна \(2a^2\).

Объяснение: площадь первого квадрата \(S_1 = a^2\), второго квадрата \(S_2 = \frac{a^2}{2}\), третьего \(S_3 = \frac{a^2}{4}\) и т.д. Это геометрическая прогрессия с первым членом \(a^2\) и знаменателем \(\frac{1}{2}\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется как \(S = \frac{a^2}{1 — \frac{1}{2}} = 2a^2\).

Мы имеем последовательность квадратов, где каждый следующий квадрат вписан в предыдущий таким образом, что его вершины являются серединами сторон предыдущего квадрата. Сторона первого квадрата равна \(a\), и нам нужно найти сумму площадей всех квадратов в этой бесконечной последовательности.

Рассмотрим сторону первого квадрата как \(a\). Площадь первого квадрата равна \(S_1 = a^2\). Теперь определим сторону второго квадрата. Поскольку вершины второго квадрата находятся в серединах сторон первого, сторона второго квадрата является диагональю прямоугольного треугольника с катетами, равными половине стороны первого квадрата, то есть \(\frac{a}{2}\). По теореме Пифагора сторона второго квадрата равна \(\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

Площадь второго квадрата равна \(S_2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}\). Таким образом, площадь второго квадрата составляет половину площади первого квадрата.

Аналогично, сторона третьего квадрата, вписанного во второй, будет равна \(\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2}\), а его площадь \(S_3 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\). Мы видим, что каждая следующая площадь уменьшается в 2 раза по сравнению с предыдущей.

Таким образом, последовательность площадей квадратов выглядит как \(S_1 = a^2\), \(S_2 = \frac{a^2}{2}\), \(S_3 = \frac{a^2}{4}\), \(S_4 = \frac{a^2}{8}\) и так далее. Это геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = a^2\) и общим отношением \(q = \frac{1}{2}\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{a^2}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2\).

Итак, сумма площадей всех квадратов равна \(2a^2\). Этот результат совпадает с ожидаемым ответом из примера.

Для наглядности можно представить последовательность площадей: \(a^2 + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{8} + \cdots\), где каждый следующий член уменьшается в 2 раза. Суммирование этой последовательности действительно приводит к \(2a^2\).

Мы учли все квадраты в бесконечной последовательности, и дальнейшие члены прогрессии становятся пренебрежимо малыми, что подтверждает корректность вычислений.

Ответ: сумма площадей всех квадратов равна \(2a^2\).