ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 918 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружность радиуса \(R\) вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан правильный треугольник и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех треугольников;

2) площадей треугольников;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Пусть \(x\) радиус окружности:

\(b_n = x, \quad c_n = \sqrt{3}b_n = \sqrt{3}x;\)

\(b_{n+1} = \frac{c_n}{2 \sqrt{3}} = \frac{x}{2}, \quad c_{n+1} = \frac{\sqrt{3}x}{2};\)

1) Периметры треугольников:

\(P_1 = 3R\sqrt{3}, \quad q = \frac{3 \cdot c_{n+1}}{3 \cdot c_n} = 0,5;\)

\(S = \frac{P_1}{1-q} = \frac{3 \sqrt{3} R}{1-0,5} = 6R\sqrt{3};\)

Ответ: \(6R\sqrt{3}\).

2) Площади треугольников:

\(S_1 = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}, \quad q = \frac{c_{n+1}^2 \sqrt{3} \cdot 4}{4 \cdot c_n^2 \sqrt{3}} = \frac{1}{4};\)

\(S = \frac{S_1}{1-q} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \sqrt{3}R^2;\)

Ответ: \(\sqrt{3}R^2\).

3) Длины окружностей:

\(L_1 = 2 \pi R, \quad q = \frac{2 \pi b_{n+1}}{2 \pi b_n} = 0,5;\)

\(S = \frac{L_1}{1-q} = \frac{2 \pi R}{1-0,5} = 4 \pi R;\)

Ответ: \(4 \pi R\).

4) Площади всех кругов:

\(S_1 = \pi R^2, \quad q = \frac{\pi b_{n+1}^2}{\pi b_n^2} = \frac{1}{4};\)

\(S = \frac{S_1}{1-q} = \pi R^2 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \pi R^2;\)

Ответ: \(\frac{4}{3} \pi R^2\).

Пусть \(x\) — радиус окружности. Рассмотрим последовательность, где \(b_n = x\) — радиус первого круга, а \(c_n = \sqrt{3} b_n = \sqrt{3} x\) — длина стороны треугольника, вписанного в этот круг. Далее мы определяем следующие элементы последовательности: \(b_{n+1} = \frac{c_n}{2 \sqrt{3}} = \frac{x}{2}\) и \(c_{n+1} = \frac{\sqrt{3} x}{2}\). Это позволяет нам построить геометрическую прогрессию для различных параметров фигур, связанных с этими треугольниками и кругами.

Рассмотрим сначала периметры треугольников. Периметр первого треугольника равен \(P_1 = 3 R \sqrt{3}\), где \(R\) — радиус первоначального круга. Коэффициент прогрессии для периметров определяется как отношение следующего периметра к предыдущему, что даёт \(q = \frac{3 \cdot c_{n+1}}{3 \cdot c_n} = \frac{c_{n+1}}{c_n} = 0,5\). Тогда сумма всех периметров, учитывая бесконечную геометрическую прогрессию, находится по формуле \(S = \frac{P_1}{1-q} = \frac{3 \sqrt{3} R}{1-0,5} = 6 R \sqrt{3}\). Таким образом, итоговый суммарный периметр равен \(6 R \sqrt{3}\).

Далее рассмотрим площади треугольников. Площадь первого треугольника равна \(S_1 = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4}\). Для вычисления коэффициента прогрессии площадей используем отношение площадей двух последовательных треугольников. Площадь пропорциональна квадрату стороны, поэтому \(q = \frac{c_{n+1}^2 \sqrt{3} \cdot 4}{4 \cdot c_n^2 \sqrt{3}} = \frac{c_{n+1}^2}{c_n^2} = \frac{1}{4}\). Сумма площадей всех треугольников — это сумма бесконечной геометрической прогрессии: \(S = \frac{S_1}{1-q} = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{3 R^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \sqrt{3} R^2\). Итоговая площадь равна \(\sqrt{3} R^2\).

Теперь рассмотрим длины окружностей. Длина первой окружности равна \(L_1 = 2 \pi R\). Аналогично, коэффициент прогрессии для длин окружностей определяется как отношение следующей длины к предыдущей: \(q = \frac{2 \pi b_{n+1}}{2 \pi b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = 0,5\). Сумма всех длин окружностей равна \(S = \frac{L_1}{1-q} = \frac{2 \pi R}{1-0,5} = 4 \pi R\). Таким образом, суммарная длина всех окружностей равна \(4 \pi R\).

Наконец, рассмотрим площади всех кругов. Площадь первого круга равна \(S_1 = \pi R^2\). Коэффициент прогрессии для площадей кругов равен отношению площадей двух последовательных кругов, что даёт \(q = \frac{\pi b_{n+1}^2}{\pi b_n^2} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \frac{1}{4}\). Суммарная площадь всех кругов — это сумма бесконечной геометрической прогрессии: \(S = \frac{S_1}{1-q} = \pi R^2 \cdot \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \pi R^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \pi R^2\). Итоговая площадь всех кругов равна \(\frac{4}{3} \pi R^2\).