ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 92 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равносильны ли уравнения: 1) \(4x + 6 = 2x — 3\) и \(4x + 3 = 2x — 6\); 2) \(8x — 4 = 0\) и \(2x — 1 = 0\); 3) \(x^2 + 2x — 3 = 0\) и \(x^3 + x = 3 — x\); 4) \(\frac{x^2}{x+1} = 0\) и \(x^2 — 1 = 0\); 5) \(\frac{x^2}{x+1} = 0\) и \(x — 1 = 0\); 6) \(x^2 + 1 = 0\) и \(0x = 5\)?

1) \(4x + 6 = 2x — 3\)
\(4x — 2x = -3 — 6\)
\(2x = -9\)
\(x = -4{,}5\)

\(4x + 3 = 2x — 6\)
\(4x — 2x = -6 — 3\)
\(2x = -9\)
\(x = -4{,}5\)
Ответ: да.

2) \(8x — 4 = 0\)
\(8x = 4\)
\(x = 0{,}5\)

\(2x — 1 = 0\)
\(2x = 1\)
\(x = 0{,}5\)
Ответ: да.

3) \(x^2 + 2x — 3 = 0\)

\(x^2 + x = 3 — x\)
\(x^2 + x + x — 3 = 0\)
\(x^2 + 2x — 3 = 0\)
Ответ: да.

4) \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\)
\(\frac{(x — 1)(x + 1)}{x + 1} = 0\), \(x \neq -1\)
\(x — 1 = 0\), \(x = 1\)

\(x^2 — 1 = 0\)
\((x — 1)(x + 1) = 0\)
\(x = \pm 1\)
Ответ: нет.

5) \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\)
\(\frac{(x — 1)(x + 1)}{x + 1} = 0\), \(x \neq -1\)
\(x — 1 = 0\), \(x = 1\)

\(x — 1 = 0\)
\(x = 1\)
Ответ: да.

6) \(x^2 + 1 = 0\)
Решений нет.

\(0x = 5\)
Решений нет.
Ответ: да.

1) Рассмотрим первое уравнение \(4x + 6 = 2x — 3\). Переносим все переменные в одну сторону, а числа — в другую: \(4x — 2x = -3 — 6\). Получаем \(2x = -9\). Делим обе части на 2: \(x = -\frac{9}{2} = -4{,}5\).

Теперь второе уравнение \(4x + 3 = 2x — 6\). Аналогично переносим: \(4x — 2x = -6 — 3\). Получаем \(2x = -9\). Делим на 2: \(x = -4{,}5\).

Так как решения совпадают, уравнения равносильны.

2) Первое уравнение \(8x — 4 = 0\). Прибавляем 4 к обеим частям: \(8x = 4\). Делим на 8: \(x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Второе уравнение \(2x — 1 = 0\). Прибавляем 1: \(2x = 1\). Делим на 2: \(x = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Решения совпадают, уравнения равносильны.

3) Уравнение \(x^2 + 2x — 3 = 0\) оставим как есть.

Второе уравнение \(x^2 + x = 3 — x\). Переносим все в одну сторону: \(x^2 + x + x — 3 = 0\), то есть \(x^2 + 2x — 3 = 0\).

Это то же уравнение, значит, они равносильны.

4) Рассмотрим уравнение \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\). Заметим, что \(x + 1 \neq 0\), значит \(x \neq -1\). Числитель равен нулю: \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) = 0\). Корни числителя: \(x = 1\) и \(x = -1\), но \(x = -1\) исключаем, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, единственный корень уравнения — \(x = 1\).

Второе уравнение \(x^2 — 1 = 0\) решаем: \((x — 1)(x + 1) = 0\). Корни \(x = 1\) и \(x = -1\).

Решения не совпадают, уравнения не равносильны.

5) Уравнение \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\) при \(x \neq -1\) сокращается до \(x — 1 = 0\), значит \(x = 1\).

Второе уравнение \(x — 1 = 0\) имеет корень \(x = 1\).

Решения совпадают, уравнения равносильны.

6) Рассмотрим \(x^2 + 1 = 0\). Квадрат числа всегда неотрицателен, значит \(x^2 \geq 0\), а \(x^2 + 1 \geq 1\), то есть уравнение не имеет решений.

Второе уравнение \(0x = 5\) невозможно, так как левая часть всегда 0, а правая равна 5. Решений нет.

Оба уравнения не имеют решений, значит они равносильны.