ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 920 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = x^2 + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \dots\), где \(x \neq 0\).

Для построения графика функции \(y = x^2 + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \dots\) при \(x \neq 0\), заметим, что это бесконечный ряд. Проанализируем поведение функции. При подстановке значений видно, что ряд сходится, и функция приближается к выражению \(y = x^2 + 1\). Например, при больших \(x\), дополнительные члены ряда становятся незначительными, а при малых \(x\), ряд также корректирует значение функции. Таким образом, график функции близок к параболе \(y = x^2 + 1\), но с небольшими отклонениями из-за дополнительных членов ряда, особенно вблизи \(x = 0\), где \(x \neq 0\). Построение графика требует учета этих особенностей.

1. Для построения графика функции \(y = x^2 + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^4} + \dots\) при условии \(x \neq 0\), необходимо сначала понять структуру данной функции. Заметим, что перед нами бесконечный геометрический ряд, где каждый последующий член связан с предыдущим через множитель \(\frac{1}{(1 + x^2)^2}\). Это позволяет нам упростить выражение для \(y\) и найти его аналитическую форму.

2. Выделим общий вид ряда. Первый член ряда равен \(x^2\), а каждый следующий член можно представить как \(x^2 \cdot \left(\frac{1}{(1 + x^2)^2}\right)^n\), где \(n = 0, 1, 2, \dots\). Таким образом, ряд записывается как \(y = \sum_{n=0}^{\infty} x^2 \cdot \left(\frac{1}{(1 + x^2)^2}\right)^n\). Учитывая, что \(x^2\) не зависит от \(n\), вынесем его за знак суммы: \(y = x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{(1 + x^2)^2}\right)^n\).

3. Теперь рассмотрим сумму бесконечного геометрического ряда \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n\), где \(r = \frac{1}{(1 + x^2)^2}\). Известно, что при \(|r| < 1\) сумма ряда равна \(\frac{1}{1 — r}\). Проверим условие сходимости: поскольку \(1 + x^2 > 1\) для всех \(x \neq 0\), то \((1 + x^2)^2 > 1\), а значит, \(\frac{1}{(1 + x^2)^2} < 1\). Следовательно, ряд сходится, и сумма равна \(\frac{1}{1 — \frac{1}{(1 + x^2)^2}}\).

4. Упростим выражение для суммы: \(1 — \frac{1}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 + x^2)^2 — 1}{(1 + x^2)^2}\). Раскроем числитель: \((1 + x^2)^2 — 1 = 1 + 2x^2 + x^4 — 1 = 2x^2 + x^4 = x^2 (2 + x^2)\). Таким образом, сумма ряда равна \(\frac{(1 + x^2)^2}{x^2 (2 + x^2)}\). Подставим это в выражение для \(y\): \(y = x^2 \cdot \frac{(1 + x^2)^2}{x^2 (2 + x^2)} = \frac{(1 + x^2)^2}{2 + x^2}\).

5. Упростим полученное выражение для \(y\): \(y = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{2 + x^2}\). Разделим числитель на знаменатель: заметим, что \(1 + 2x^2 + x^4 = (x^2 + 1)^2\), но прямое деление на \(2 + x^2\) не дает простого результата. Однако, если рассмотреть поведение функции, можно заметить, что при больших \(x\), \(y \approx x^2\), а при малых \(x\), значение \(y\) близко к константе. Для точного графика оставим выражение в виде \(y = \frac{(1 + x^2)^2}{2 + x^2}\).

6. Определим ключевые точки функции для построения графика. Поскольку \(x \neq 0\), проверим значения функции вблизи \(x = 0\). Например, при \(x = 0.1\), \(1 + x^2 \approx 1.01\), \((1 + x^2)^2 \approx 1.0201\), \(2 + x^2 \approx 2.01\), \(y \approx \frac{1.0201}{2.01} \approx 0.507\). При \(x = 1\), \(1 + x^2 = 2\), \((1 + x^2)^2 = 4\), \(2 + x^2 = 3\), \(y = \frac{4}{3} \approx 1.333\). При \(x = 2\), \(1 + x^2 = 5\), \((1 + x^2)^2 = 25\), \(2 + x^2 = 6\), \(y = \frac{25}{6} \approx 4.167\).

7. Заметим, что функция четная, так как \(y(-x) = y(x)\), поскольку в выражении для \(y\) присутствует только \(x^2\). Это означает, что график симметричен относительно оси \(y\). Таким образом, достаточно построить график для \(x > 0\) и отразить его для \(x < 0\).

8. Проанализируем поведение функции на бесконечности. При \(x \to \infty\), числитель \((1 + x^2)^2 \approx x^4\), знаменатель \(2 + x^2 \approx x^2\), следовательно, \(y \approx \frac{x^4}{x^2} = x^2\). Это означает, что график функции асимптотически приближается к параболе \(y = x^2\).

9. Учитывая, что вблизи \(x = 0\) функция имеет значения около \(0.5\) (как показано в расчетах), а при увеличении \(x\) она растет и приближается к \(y = x^2\), можно сделать вывод, что график начинается с ненулевого значения при малых \(x\), затем плавно увеличивается, следуя за параболой \(y = x^2\).

10. Таким образом, график функции \(y = \frac{(1 + x^2)^2}{2 + x^2}\) представляет собой кривую, симметричную относительно оси \(y\), с минимальным значением около \(0.5\) при \(x \to 0\) (но \(x \neq 0\)), и асимптотическим поведением, близким к \(y = x^2\) при больших значениях \(x\). Для точного построения можно использовать рассчитанные точки и симметрию функции.