ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 923 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \(6ab^2 — 12ab^3\);

2) \(2a^3 — 8a\);

3) \(3a^2c — 3c^3\);

4) \(18mn^2 + 27m^2n\);

5) \(100x^2 — 1\);

6) \(2y^2 — 12y + 18\).

1) \(6ab^2 — 12ab^3 = 6ab^2(1 — 2b)\) — вынесен общий множитель \(6ab^2\).

2) \(2a^3 — 8a = 2a(a^2 — 4) = 2a(a — 2)(a + 2)\) — вынесен \(2a\), затем разность квадратов.

3) \(3a^2c — 3c^3 = 3c(a^2 — c^2) = 3c(a — c)(a + c)\) — вынесен \(3c\), затем разность квадратов.

4) \(18mn^2 + 27m^2n = 9mn(2n + 3m)\) — вынесен общий множитель \(9mn\).

5) \(100x^2 — 1 = (10x — 1)(10x + 1)\) — разность квадратов.

6) \(2y^2 — 12y + 18 = 2(y^2 — 6y + 9) = 2(y — 3)^2\) — вынесен множитель 2, затем квадрат суммы.

1) Рассмотрим выражение \(6ab^2 — 12ab^3\). Первым шагом необходимо найти общий множитель для обоих слагаемых. Численные коэффициенты 6 и 12 имеют общий делитель 6. Переменные: \(a\) присутствует в обоих членах в степени 1, \(b\) — в степени 2 и 3, поэтому берем наименьшую степень, то есть \(b^2\). Таким образом, общий множитель — \(6ab^2\). Выносим его за скобки: \(6ab^2(1 — 2b)\). Это и есть окончательное разложение на множители.

2) Перейдем к выражению \(2a^3 — 8a\). Сначала замечаем, что оба члена содержат множитель \(2a\). Выносим его за скобки: \(2a(a^2 — 4)\). Далее видим, что внутри скобок осталась разность квадратов, так как \(a^2 — 4 = a^2 — 2^2\). Используем формулу разности квадратов \((x^2 — y^2) = (x — y)(x + y)\), где \(x = a\), а \(y = 2\). Получаем: \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\). Таким образом, итоговое разложение: \(2a(a — 2)(a + 2)\).

3) Разложим выражение \(3a^2c — 3c^3\). Оба члена содержат множитель \(3c\), выносим его за скобки: \(3c(a^2 — c^2)\). Внутри скобок снова видим разность квадратов: \(a^2 — c^2 = (a — c)(a + c)\). Применяем эту формулу и получаем итоговое разложение: \(3c(a — c)(a + c)\).

4) Рассмотрим выражение \(18mn^2 + 27m^2n\). Ищем общий множитель. Численные коэффициенты 18 и 27 имеют общий делитель 9. Переменные: \(m\) присутствует в степени 1 в обоих членах, \(n\) — в степени 2 и 1, берем наименьшую степень. Таким образом, общий множитель — \(9mn\). Выносим его: \(9mn(2n + 3m)\). Это и есть окончательное разложение.

5) Перейдем к выражению \(100x^2 — 1\). Сразу замечаем, что это разность квадратов, так как \(100x^2 = (10x)^2\), а \(1 = 1^2\). Используем формулу \((x^2 — y^2) = (x — y)(x + y)\), где \(x = 10x\), а \(y = 1\). Получаем разложение: \((10x — 1)(10x + 1)\). Это окончательный результат.

6) Наконец, разложим выражение \(2y^2 — 12y + 18\). Сначала выносим общий численный множитель 2: \(2(y^2 — 6y + 9)\). Внутри скобок видим выражение, которое похоже на полный квадрат. Проверяем: \(y^2 — 6y + 9 = (y — 3)^2\), так как \((y — 3)^2 = y^2 — 2 \cdot 3 \cdot y + 3^2 = y^2 — 6y + 9\). Таким образом, итоговое разложение: \(2(y — 3)^2\).