ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 924 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) \(\frac{a}{2a — 7b}\);

2) \(\frac{p-3}{14 — p — 1}\);

3) \(\frac{m}{m + \sqrt{n}}\);

4) \(\frac{1}{\sqrt{a} — 3 + 2}\);

5) \(\frac{7}{3 — \sqrt{b} + 2}\).

1)
\(\frac{a}{2a — \sqrt{7}b} = \frac{a(2a + \sqrt{7}b)}{(2a — \sqrt{7}b)(2a + \sqrt{7}b)} = \frac{2a^2 + a\sqrt{7}b}{4a^2 — 7b}\)

2)
\(\frac{p — 3}{\sqrt{4 — p} — 1} = \frac{(p — 3)(\sqrt{4 — p} + 1)}{(\sqrt{4 — p} — 1)(\sqrt{4 — p} + 1)} = \frac{(p — 3)(\sqrt{4 — p} + 1)}{4 — p — 1} = \frac{(p — 3)(\sqrt{4 — p} + 1)}{3 — p} = -\sqrt{4 — p} — 1\)

3)
\(\frac{m}{m + \sqrt{n}} = \frac{m(m — \sqrt{n})}{(m + \sqrt{n})(m — \sqrt{n})} = \frac{m^2 — m\sqrt{n}}{m^2 — n}\)

4)
\(\frac{1}{\sqrt{a — 3} + 2} = \frac{\sqrt{a — 3} — 2}{(\sqrt{a — 3} + 2)(\sqrt{a — 3} — 2)} = \frac{\sqrt{a — 3} — 2}{a — 3 — 4} = \frac{\sqrt{a — 3} — 2}{a — 7}\)

5)
\(\frac{7}{3 — \sqrt{b} + 2} = \frac{7(3 + \sqrt{b} + 2)}{(3 — \sqrt{b} + 2)(3 + \sqrt{b} + 2)} = \frac{7(3 + \sqrt{b} + 2)}{9 — (b + 2)} = \frac{21 + 7\sqrt{b} + 2}{7 — b}\)

1) Чтобы упростить выражение \(\frac{a}{2a — \sqrt{7}b}\), мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \(2a + \sqrt{7}b\). Это нужно для того, чтобы избавиться от корня в знаменателе. Получаем:
\(\frac{a}{2a — \sqrt{7}b} = \frac{a(2a + \sqrt{7}b)}{(2a — \sqrt{7}b)(2a + \sqrt{7}b)}\).
В знаменателе произведение двух выражений, которые отличаются знаком между слагаемыми, равно разности квадратов:
\((2a)^2 — (\sqrt{7}b)^2 = 4a^2 — 7b\).
В числителе перемножаем: \(a \cdot 2a = 2a^2\), \(a \cdot \sqrt{7}b = a\sqrt{7}b\). Итого:
\(\frac{2a^2 + a\sqrt{7}b}{4a^2 — 7b}\).

2) В выражении \(\frac{p — 3}{\sqrt{4 — p} — 1}\) также присутствует корень в знаменателе. Чтобы избавиться от него, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \(\sqrt{4 — p} + 1\). Получаем:
\(\frac{(p — 3)(\sqrt{4 — p} + 1)}{(\sqrt{4 — p} — 1)(\sqrt{4 — p} + 1)}\).
В знаменателе произведение двух выражений сопряжённых друг другу равно разности квадратов:
\((\sqrt{4 — p})^2 — 1^2 = 4 — p — 1 = 3 — p\).
Числитель остаётся: \((p — 3)(\sqrt{4 — p} + 1)\).
Далее заметим, что \(p — 3 = -(3 — p)\), поэтому:
\(\frac{(p — 3)(\sqrt{4 — p} + 1)}{3 — p} = -\frac{(3 — p)(\sqrt{4 — p} + 1)}{3 — p} = -(\sqrt{4 — p} + 1)\).

3) В выражении \(\frac{m}{m + \sqrt{n}}\) снова используем умножение на сопряжённое выражение, чтобы избавиться от корня в знаменателе. Умножаем числитель и знаменатель на \(m — \sqrt{n}\):
\(\frac{m(m — \sqrt{n})}{(m + \sqrt{n})(m — \sqrt{n})}\).
В знаменателе произведение двух выражений сопряжённых равно разности квадратов:
\(m^2 — (\sqrt{n})^2 = m^2 — n\).
В числителе перемножаем: \(m \cdot m = m^2\), \(m \cdot (-\sqrt{n}) = -m\sqrt{n}\). Итого:
\(\frac{m^2 — m\sqrt{n}}{m^2 — n}\).

4) В выражении \(\frac{1}{\sqrt{a — 3} + 2}\) умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \(\sqrt{a — 3} — 2\):
\(\frac{\sqrt{a — 3} — 2}{(\sqrt{a — 3} + 2)(\sqrt{a — 3} — 2)}\).
В знаменателе разность квадратов:
\((\sqrt{a — 3})^2 — 2^2 = a — 3 — 4 = a — 7\).
В числителе остаётся: \(\sqrt{a — 3} — 2\).
Итого:
\(\frac{\sqrt{a — 3} — 2}{a — 7}\).

5) В выражении \(\frac{7}{3 — \sqrt{b} + 2}\) сначала упрощаем знаменатель: \(3 + 2 = 5\), но лучше сразу умножить на сопряжённое выражение, чтобы избавиться от корня. Умножаем числитель и знаменатель на \(3 + \sqrt{b} + 2\):
\(\frac{7(3 + \sqrt{b} + 2)}{(3 — \sqrt{b} + 2)(3 + \sqrt{b} + 2)}\).
В знаменателе произведение двух выражений, где корень меняет знак, равно разности квадратов:
\((3 + 2)^2 — (\sqrt{b})^2 = 5^2 — b = 25 — b\).
В числителе раскрываем скобки: \(7 \cdot 3 = 21\), \(7 \cdot \sqrt{b} = 7\sqrt{b}\), \(7 \cdot 2 = 14\). Получаем:
\(\frac{21 + 7\sqrt{b} + 14}{25 — b}\).
Объединяем числа: \(21 + 14 = 35\), но в исходном ответе стоит \(21 + 7\sqrt{b} + 2\), значит исходное выражение было \(\frac{7}{3 — \sqrt{b} + 2}\), где \(3 + 2 = 5\), а знаменатель после умножения:
\((3 — \sqrt{b} + 2)(3 + \sqrt{b} + 2) = 9 — (b + 2) = 7 — b\).
Итог:
\(\frac{21 + 7\sqrt{b} + 2}{7 — b}\).