ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 926 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Глеб задумал пять цифр: \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\). Игорь отгадывает их. Ему разрешено задавать вопросы вида: «Чему равна сумма \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 + a_5x_5\)?», где \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) — некоторые натуральные числа. За какое наименьшее количество вопросов Игорь может отгадать задуманные Глебом цифры?

Игорь может отгадать пять цифр, задав всего один вопрос. Он спрашивает, чему равно выражение \(10000x_1 + 1000x_2 + 100x_3 + 10x_4 + x_5\). Ответ на этот вопрос представляет собой число, цифры которого (слева направо) напрямую соответствуют значениям \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\). Таким образом, достаточно одного вопроса.

1. Рассмотрим задачу, в которой Глеб задумал пять цифр \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), а Игорь должен их отгадать, задавая вопросы вида «Чему равна сумма \(a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 + a_5x_5\)?», где \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) — натуральные числа. Нам нужно определить минимальное количество вопросов, необходимых для точного определения всех цифр.

2. Каждая цифра \(x_i\) (где \(i\) принимает значения от 1 до 5) является целым числом от 0 до 9, так как это цифры. Таким образом, мы имеем дело с конечным набором возможных значений для каждой переменной.

3. Один из возможных подходов — задать пять отдельных вопросов, каждый из которых позволяет определить одну из цифр. Например, можно задать вопрос с коэффициентами \(a_1=1, a_2=0, a_3=0, a_4=0, a_5=0\), чтобы получить значение \(x_1\). Аналогично можно поступить для остальных цифр, задав четыре дополнительных вопроса. Однако это требует пяти вопросов, и наша цель — минимизировать их количество.

4. Рассмотрим, можно ли получить информацию о нескольких цифрах одновременно. Поскольку коэффициенты \(a_i\) являются натуральными числами (то есть положительными целыми числами), мы можем выбрать их так, чтобы вклад каждой цифры \(x_i\) в итоговую сумму был уникальным и не пересекался с вкладами других цифр.

5. Заметим, что цифры имеют значения от 0 до 9, а значит, если мы выберем коэффициенты, которые являются степенями числа, превышающего 9, например, основания 10, то сможем разделить вклады цифр в итоговом числе. Конкретно, выберем коэффициенты как степени 10: \(a_1=10^4=10000\), \(a_2=10^3=1000\), \(a_3=10^2=100\), \(a_4=10^1=10\), \(a_5=10^0=1\).

6. Тогда сумма, которую Игорь спрашивает, будет равна \(10000x_1 + 1000x_2 + 100x_3 + 10x_4 + x_5\). Это выражение представляет собой число, в котором цифры слева направо соответствуют значениям \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), если результат состоит из пяти цифр. Однако, поскольку \(x_1\) может быть равно 0, число может начинаться с нулей, но это не меняет сути, так как Игорь может интерпретировать результат как пятизначное число, дополненное ведущими нулями при необходимости.

7. Например, если Глеб задумал цифры \(x_1=9, x_2=2, x_3=6, x_4=3, x_5=5\), то сумма будет равна \(10000 \cdot 9 + 1000 \cdot 2 + 100 \cdot 6 + 10 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 92635\). Игорь, получив ответ 92635, может непосредственно прочитать цифры как 9, 2, 6, 3, 5.

8. Если же, например, \(x_1=0, x_2=1, x_3=2, x_4=3, x_5=4\), то сумма будет \(10000 \cdot 0 + 1000 \cdot 1 + 100 \cdot 2 + 10 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 1234\). Игорь интерпретирует это как число с ведущим нулем, то есть цифры будут 0, 1, 2, 3, 4.

9. Таким образом, задав всего один вопрос с указанными коэффициентами, Игорь может определить все пять цифр одновременно, так как каждая цифра занимает уникальное место в десятичном представлении числа, и пересечения вкладов не происходит, поскольку максимальное значение каждой цифры (9) умноженное на коэффициент не влияет на разряды других цифр.

10. Следовательно, минимальное количество вопросов, необходимых для отгадывания всех пяти цифр, равно одному, так как с помощью одного вопроса Игорь получает число, непосредственно кодирующее все цифры \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\).