ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 927 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \((2b — 1)(3b + 2) < (3b — 1)(2b + 1)\);

2) \(25m^2 + n^2 \geq 10mn\);

3) \(2a^2 — 4a + 5 > 0\);

4) \(x^2 + x + 1 > 0\);

5) \(4y^2 — 12 \geq 12y — 21\);

6) \(a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)\);

7) \(a + b + c + 3^2 \geq 2(a + b + c)\);

8) \(2a^2 + 5b^2 + 2ab + 1 > 0\);

9) \(x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4y\).

1) \((2b — 1)(3b + 2) < (3b — 1)(2b + 1)\)
\(6b^{2} — 3b + 4b — 2 < 6b^{2} — 2b + 3b — 1\)
\(b — 2 < b — 1,\ -2 < -1\) Неравенство доказано. 2) \(25m^{2} + n^{2} \geq 10mn\) \(25m^{2} — 10mn + n^{2} \geq 0\) \((5m — n)^{2} \geq 0\) Неравенство доказано. 3) \(2a^{2} — 4a + 5 > 0\)
\(2(a^{2} — 2a + 1) + 3 > 0\)
\(2(a — 1)^{2} + 3 > 0\)
Неравенство доказано.

4) \(x^{2} + x + 1 > 0\)
\(x^{2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} > 0\)
\((x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0\)
Неравенство доказано.

5) \(4y^{2} — 12 \geq 12y — 21\)
\(4y^{2} — 12y + 9 \geq 0\)
\((2y — 3)^{2} \geq 0\)
Неравенство доказано.

6) \(a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2(a + b)\)
\(a^{2} + b^{2} + 2 — 2a — 2b \geq 0\)
\((a — 1)^{2} + (b — 1)^{2} \geq 0\)
Неравенство доказано.

7) \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2(a + b + c)\)
\(a^{2} — 2a + 1 + b^{2} — 2b + 1 + c^{2} — 2c + 1 \geq 0\)
\((a — 1)^{2} + (b — 1)^{2} + (c — 1)^{2} \geq 0\)
Неравенство доказано.

8) \(2a^{2} + 5b^{2} + 2ab + 1 > 0\)
\(a^{2} + 2ab + b^{2} + a^{2} + 4b^{2} + 1 > 0\)
\((a + b)^{2} + a^{2} + 4b^{2} + 1 > 0\)
Неравенство доказано.

9) \(x^{2} + y^{2} + 15 > 6x + 4y\)
\(x^{2} — 6x + 9 + y^{2} — 4y + 4 + 2 > 0\)
\((x — 3)^{2} + (y — 2)^{2} + 2 > 0\)
Неравенство доказано.

1)
Распишем левую часть: \((2b — 1)(3b + 2) = 2b \cdot 3b + 2b \cdot 2 — 1 \cdot 3b — 1 \cdot 2 = 6b^{2} + 4b — 3b — 2 =\)
\(= 6b^{2} + b — 2\).
Распишем правую часть: \((3b — 1)(2b + 1) = 3b \cdot 2b + 3b \cdot 1 — 1 \cdot 2b — 1 \cdot 1 = 6b^{2} + 3b — 2b — 1 =\)
\(= 6b^{2} + b — 1\).
Сравним: \(6b^{2} + b — 2 < 6b^{2} + b — 1\).
Вычтем одинаковые слагаемые: \(-2 < -1\).
Неравенство выполняется.

2)
Перенесём всё в одну часть: \(25m^{2} + n^{2} — 10mn \geq 0\).
Распишем как квадрат разности: \(25m^{2} — 10mn + n^{2} = (5m)^{2} — 2 \cdot 5m \cdot n + n^{2} = (5m — n)^{2}\).
Получаем: \((5m — n)^{2} \geq 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен.

3)
Выделим полный квадрат: \(2a^{2} — 4a + 5 = 2(a^{2} — 2a + 1) + 3 = 2(a — 1)^{2} + 3\).
Так как \(2(a — 1)^{2} \geq 0\), то \(2(a — 1)^{2} + 3 > 0\) при любом \(a\).

4)
Выделим полный квадрат: \(x^{2} + x + 1 = x^{2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}\).
Так как \((x + \frac{1}{2})^{2} \geq 0\), то сумма всегда больше нуля.

5)
Перенесём всё в одну часть: \(4y^{2} — 12 \geq 12y — 21\).
Получаем: \(4y^{2} — 12y + 9 \geq 0\).
Выделим полный квадрат: \(4y^{2} — 12y + 9 = (2y — 3)^{2}\).
\((2y — 3)^{2} \geq 0\).

6)
Переносим всё в одну часть: \(a^{2} + b^{2} + 2 — 2a — 2b \geq 0\).
Группируем: \((a^{2} — 2a + 1) + (b^{2} — 2b + 1) = (a — 1)^{2} + (b — 1)^{2}\).
Итого: \((a — 1)^{2} + (b — 1)^{2} \geq 0\).

7)
Переносим всё в одну часть: \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 — 2a — 2b — 2c \geq 0\).
Группируем: \((a^{2} — 2a + 1) + (b^{2} — 2b + 1) + (c^{2} — 2c + 1) = (a — 1)^{2} + (b — 1)^{2} + (c — 1)^{2}\).
Итого: \((a — 1)^{2} + (b — 1)^{2} + (c — 1)^{2} \geq 0\).

8)
Разложим: \(2a^{2} + 5b^{2} + 2ab + 1 = a^{2} + 2ab + b^{2} + a^{2} + 4b^{2} + 1\).
Группируем: \((a + b)^{2} + a^{2} + 4b^{2} + 1 > 0\).
Сумма квадратов и единицы всегда больше нуля.

9)
Переносим всё в одну часть: \(x^{2} + y^{2} + 15 — 6x — 4y > 0\).
Группируем: \((x^{2} — 6x + 9) + (y^{2} — 4y + 4) + 2 > 0\).
Выделим квадраты: \((x — 3)^{2} + (y — 2)^{2} + 2 > 0\).
Сумма квадратов и двойки больше нуля.