ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 928 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что является верным неравенство:

1) \(a^3 — 5 \geq 5a^4 — a\), если \(a \geq 5\);

2) \(b^3 + b + 2 \geq 0\), если \(b \geq -1\);

3) \(3 + c \geq 5c^2 + 3\), если \(c \leq 3\).

1) Докажем неравенство \(a^5 — 5 \geq 5a^4 — a\), если \(a \geq 5\).

Переносим всё в одну сторону:
\(a^5 — 5a^4 + a — 5 \geq 0\).

Вынесем общий множитель:
\(a^4(a — 5) + (a — 5) \geq 0\).

Запишем как произведение:
\((a^4 + 1)(a — 5) \geq 0\).

Так как \(a^4 + 1 > 0\) при любом \(a\), то неравенство верно при \(a \geq 5\).

2) Докажем неравенство \(b^3 + b + 2 \geq 0\), если \(b \geq -1\).

Переносим и группируем:
\(b^3 — b + 2b + 2 \geq 0\).

Вынесем множители:
\(b(b^2 — 1) + 2(b + 1) \geq 0\).

Разложим:
\(b(b — 1)(b + 1) + 2(b + 1) \geq 0\).

Вынесем общий множитель:
\((b + 1)(b^2 — b + 2) \geq 0\).

При \(b \geq -1\), \(b + 1 \geq 0\).

Проверим дискриминант второго множителя:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 < 0\).

Значит \(b^2 — b + 2 > 0\) при любом \(b\).

Следовательно, произведение неотрицательно.

3) Докажем неравенство \(c^3 + c \leq 3c^2 + 3\), если \(c \leq 3\).

Переносим всё в одну сторону:
\(c^3 — 3c^2 + c — 3 \leq 0\).

Группируем:
\(c^2(c — 3) + (c — 3) \leq 0\).

Вынесем общий множитель:
\((c^2 + 1)(c — 3) \leq 0\).

Так как \(c^2 + 1 > 0\) при любом \(c\), то неравенство верно, когда \(c — 3 \leq 0\), то есть при \(c \leq 3\).

1) Рассмотрим неравенство \(a^5 — 5 \geq 5a^4 — a\), при условии \(a \geq 5\).

Перенесём все слагаемые в левую часть: \(a^5 — 5a^4 + a — 5 \geq 0\).

Вынесем общий множитель \(a — 5\): \(a^4(a — 5) + (a — 5) \geq 0\).

Запишем это в виде произведения: \((a^4 + 1)(a — 5) \geq 0\).

Так как \(a^4 + 1 > 0\) для любого \(a\), то знак произведения определяется знаком второго множителя \(a — 5\).

При \(a \geq 5\) имеем \(a — 5 \geq 0\), значит произведение неотрицательно.

Следовательно, неравенство доказано.

2) Рассмотрим неравенство \(b^3 + b + 2 \geq 0\), при условии \(b \geq -1\).

Переносим слагаемые: \(b^3 — b + 2b + 2 \geq 0\).

Группируем: \(b(b^2 — 1) + 2(b + 1) \geq 0\).

Разложим: \(b(b — 1)(b + 1) + 2(b + 1) \geq 0\).

Вынесем общий множитель: \((b + 1)(b(b — 1) + 2) \geq 0\).

Раскроем скобки: \((b + 1)(b^2 — b + 2) \geq 0\).

При \(b \geq -1\), первый множитель \(b + 1 \geq 0\).

Второй множитель \(b^2 — b + 2\) — квадратичная функция с дискриминантом \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 < 0\). Так как дискриминант отрицателен, вторая функция положительна при любом \(b\). Значит произведение неотрицательно. Следовательно, неравенство доказано. 3) Рассмотрим неравенство \(c^3 + c \leq 3c^2 + 3\), при условии \(c \leq 3\). Переносим слагаемые: \(c^3 — 3c^2 + c — 3 \leq 0\). Группируем: \(c^2(c — 3) + (c — 3) \leq 0\). Вынесем общий множитель: \((c^2 + 1)(c — 3) \leq 0\). Так как \(c^2 + 1 > 0\) для любого \(c\), знак произведения определяется знаком \(c — 3\).

При \(c \leq 3\) имеем \(c — 3 \leq 0\), значит произведение не положительно.

Следовательно, неравенство доказано.