ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 93 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что для нечётных чисел a, b, c, d, e, f не может выполняться равенство \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1\).

Не выполняется равенство:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1 \), где \(a, b, c, d, e, f\) — нечётные числа;

приведём к общему знаменателю:

\( \frac{bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde}{abcdef} = 1 \);

произведение нечётных чисел \(abcdef\) — нечётное число, сумма шести нечётных чисел — чётное число, значит числитель дроби — чётное число, а знаменатель — нечётное число, то есть равенство не выполняется ни при каких значениях \(a, b, c, d, e, f\);

что и требовалось доказать.

Пусть \(a, b, c, d, e, f\) — нечётные числа. Рассмотрим выражение \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} \).

Приведём все дроби к общему знаменателю \(abcdef\), умножая каждую дробь на недостающие множители:

\( \frac{bcdef}{abcdef} + \frac{acdef}{abcdef} + \frac{abdef}{abcdef} + \frac{abcef}{abcdef} + \frac{abcdf}{abcdef} + \frac{abcde}{abcdef} \).

Теперь сложим числители:

\( bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde \).

По условию сумма равна 1, значит:

\( \frac{bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde}{abcdef} = 1 \).

Отсюда следует равенство числителя и знаменателя:

\( bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef \).

Поскольку все числа \(a, b, c, d, e, f\) нечётные, произведение \(abcdef\) нечётно. Каждый слагаемый числителя — произведение пяти нечётных чисел, значит он тоже нечётный.

Сумма шести нечётных чисел равна чётному числу, так как сумма чётного количества нечётных чисел всегда чётна.

Таким образом, левая часть равенства — чётное число, а правая — нечётное число. Это невозможно.

Следовательно, равенство \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1 \) не может выполняться для нечётных \(a, b, c, d, e, f\).