ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 931 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > b > 1\), то \(a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b\).

\(a^{2}b + b^{2} + a > ab^{2} + a^{2} + b\)

\(a^{2}b — ab^{2} + a — b + b^{2} — a^{2} > 0\)

\(ab(a — b) + (a — b) + (b^{2} — a^{2}) > 0\)

\(ab(a — b) + (a — b) — (a^{2} — b^{2}) > 0\)

\((a — b)(ab + 1) — (a — b)(a + b) > 0\)

\((a — b)[ab + 1 — a — b] > 0\)

\((a — b)[a(b — 1) — (b — 1)] > 0\)

\((a — b)(a — 1)(b — 1) > 0\)

\(a > b > 1\)

Что и требовалось доказать.

1. Перенесём все слагаемые в одну часть неравенства:
\(a^{2}b + b^{2} + a — ab^{2} — a^{2} — b > 0\)

2. Группируем по похожим переменным:
\((a^{2}b — ab^{2}) + (b^{2} — a^{2}) + (a — b) > 0\)

3. Вынесем общий множитель в первой группе:
\(a^{2}b — ab^{2} = ab(a — b)\)

4. Во второй группе используем формулу разности квадратов:
\(b^{2} — a^{2} = (b — a)(b + a)\)

5. Подставляем найденные выражения:
\(ab(a — b) + (b — a)(b + a) + (a — b) > 0\)

6. Вынесем общий множитель \((a — b)\) из всех слагаемых:
\(ab(a — b) — (a — b)(a + b) + (a — b) > 0\)

7. Запишем как произведение:
\((a — b)[ab — (a + b) + 1] > 0\)

8. Упростим выражение в скобках:
\(ab — a — b + 1\)

9. Разложим на множители:
\(ab — a — b + 1 = (a — 1)(b — 1)\)

10. Подставим полученное:
\((a — b)(a — 1)(b — 1) > 0\)

Так как \(a > b > 1\), все множители положительны, значит неравенство выполняется.