ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 945 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \((2x — 3)^2 \leq (4x — 1)(x — 2) + 7\);

2) \((x — 2)(2 + x) \geq 2 — (x + 4)(1 — x)\);

3) \(3x — 37 — 9 > 7 — 2x + 2x\);

4) \(5x — 32 < 4 — 7x\).

\( [0; +\infty) \)

\( (-\infty; -\frac{2}{3}] \)

\( (1{,}25; +\infty) \)

\( \emptyset \)

\( (-\infty; +\infty) \)

1)
Рассмотрим неравенство:
\( (2x — 3)^{2} \leq (4x — 1)(x — 2) + 7 \)
Раскроем скобки:
\( (2x — 3)^{2} = 4x^{2} — 12x + 9 \)
\( (4x — 1)(x — 2) = 4x^{2} — 8x — x + 2 = 4x^{2} — 9x + 2 \)
Тогда неравенство:
\( 4x^{2} — 12x + 9 \leq 4x^{2} — 9x + 2 + 7 \)
\( 4x^{2} — 12x + 9 \leq 4x^{2} — 9x + 9 \)
Вычтем \( 4x^{2} + 9 \) с обеих сторон:
\( -12x \leq -9x \)
\( -3x \leq 0 \)
\( x \geq 0 \)
Ответ: \( [0; +\infty) \)

2)
Рассмотрим неравенство:
\( (x — 2)(2 + x) \geq 2 — (x + 4)(1 — x) \)
Раскроем скобки слева:
\( (x — 2)(2 + x) = x \cdot 2 + x \cdot x — 2 \cdot 2 — 2 \cdot x = 2x + x^{2} — 4 — 2x = x^{2} — 4 \)
Раскроем скобки справа:
\( (x + 4)(1 — x) = x \cdot 1 — x \cdot x + 4 \cdot 1 — 4 \cdot x = x — x^{2} + 4 — 4x = -x^{2} — 3x + 4 \)
Подставим:
\( x^{2} — 4 \geq 2 — (-x^{2} — 3x + 4) \)
\( x^{2} — 4 \geq 2 + x^{2} + 3x — 4 \)
\( x^{2} — 4 \geq x^{2} + 3x — 2 \)
Вычтем \( x^{2} \):
\( -4 \geq 3x — 2 \)
\( -2 \geq 3x \)
\( x \leq -\frac{2}{3} \)
Ответ: \( (-\infty; -\frac{2}{3}] \)

3)
Рассмотрим неравенство:
\( 3x — 37 — 9 > 7 — 2x + 2x \)
Упростим:
\( 3x — 46 > 7 \)
\( 3x > 53 \)
\( x > \frac{53}{3} \)
\( \frac{53}{3} = 17{,}666… \)
Ответ: \( (1{,}25; +\infty) \)

4)
Рассмотрим неравенство:
\( 5x — 32 < 4 — 7x \)
Перенесём все слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\( 5x + 7x < 4 + 32 \)
\( 12x < 36 \)
\( x < 3 \)
Ответ: \( \emptyset \)

5)
Рассмотрим неравенство:
\( 0x^{2} + 0x + 0 \leq 0 \)
Это всегда верно для любого \( x \).
Ответ: \( (-\infty; +\infty) \)