ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 948 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:

1) \(\frac{x+1}{3} + \frac{x-1}{3} < 1\) и \(3(x+1) + 2(x-1) < 1\);

2) \((x+3)(x^2+4) > 0\) и \(x+3 > 0\);

3) \(x-1 > 3\) и \(x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5}\);

4) \(x+2 < 1\) и \(x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x}\);

1) \(\frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3} < 1\)
\(3(x+1) + 2(x-1) < 1\)
\(3(x+1) + 2(x-1) < 6\)
нет

2) \(x+3 > 0\)
\((x+3)(x^{2}+4) > 0\)
\(x^{2}+4 > 0,\, x+3 > 0\)
да

3) \(x-1 > 3\)
\(x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5}\)
\(x-1 > 3,\, x-5 \neq 0\)
\(x > 4,\, x \neq 5\)
нет

4) \(x+2 < 1\)
\(x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x}\)
\(x+2 < 1,\, x \neq 0\)
да

1)
Рассмотрим первое неравенство: \(\frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{3} < 1\).
Приведём к общему знаменателю: \(\frac{3(x+1) + 2(x-1)}{6} < 1\).
В числителе: \(3(x+1) + 2(x-1) = 3x+3 + 2x-2 = 5x+1\).
Получаем: \(\frac{5x+1}{6} < 1\).
Умножим обе части на 6: \(5x+1 < 6\).
Отсюда: \(5x < 5\), \(x < 1\).

Второе неравенство: \(3(x+1) + 2(x-1) < 1\).
Упрощаем: \(3x+3 + 2x-2 < 1\), \(5x+1 < 1\), \(5x < 0\), \(x < 0\).

Ответ: нет

2)
Рассмотрим неравенство \((x+3)(x^{2}+4) > 0\).
\(x^{2}+4 > 0\) всегда выполняется для любого \(x\), так как квадрат любого числа неотрицателен, а 4 положительно.
Следовательно, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда \(x+3 > 0\).
То есть, оба неравенства равносильны.

Ответ: да

3)
Рассмотрим первое неравенство: \(x-1 > 3\).
Решаем: \(x > 4\).

Второе неравенство: \(x-1 + \frac{1}{x-5} > 3 + \frac{1}{x-5}\).
Вычтем \(\frac{1}{x-5}\) из обеих частей: \(x-1 > 3\).
Решение: \(x > 4\).
Однако, дробь \(\frac{1}{x-5}\) определена только при \(x \neq 5\).
Значит, для второго неравенства: \(x > 4\), \(x \neq 5\).

Ответ: нет

4)
Первое неравенство: \(x+2 < 1\).
Решаем: \(x < -1\).

Второе неравенство: \(x+2 + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x}\).
Вычтем \(\frac{1}{x}\) из обеих частей: \(x+2 < 1\).
Решение: \(x < -1\).
Дробь \(\frac{1}{x}\) определена только при \(x \neq 0\).
Значит, для второго неравенства: \(x < -1\), \(x \neq 0\).
Но при \(x < -1\) автоматически \(x \neq 0\).

Ответ: да