ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 954 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) система неравенств имеет хотя бы одно решение:

1) \(\begin{cases} x < 4, \\ x \geq a \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x \leq 2, \\ x > a \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} x \geq 1, \\ x \leq a \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} x \leq a, \\ x > a \end{cases}\)

1) Решение: Пересечение множеств \(x < 4\) и \(x > a\) существует, если \(a < 4\).

2) Решение: Пересечение множеств \(x \leq 2\) и \(x > a\) существует, если \(a < 2\).

3) Решение: Пересечение множеств \(x \leq -3\) и \(x \geq a\) существует, если \(a \leq -3\).

4) Решение: Пересечение множеств \(x \geq 1\) и \(x \leq a\) существует, если \(a \geq 1\).

Рассмотрим первый случай. Нам даны два условия: \(x < 4\) и \(x > a\). Чтобы пересечение этих множеств не было пустым, должно существовать хотя бы одно значение \(x\), которое одновременно меньше 4 и больше \(a\). Если \(a\) будет больше или равно 4, тогда не найдётся ни одного числа, удовлетворяющего одновременно обоим условиям, и пересечение будет пустым. Следовательно, для существования решения необходимо и достаточно, чтобы \(a < 4\).

Во втором случае рассматриваются множества \(x \leq 2\) и \(x > a\). Для того чтобы их пересечение было непустым, должно существовать число \(x\), которое одновременно не превосходит 2 и строго больше \(a\). Если \(a\) будет больше или равно 2, тогда никакое число не сможет удовлетворить этим двум условиям одновременно, и пересечение будет пустым. Значит, условие существования решения — это \(a < 2\).

В третьем случае множества заданы как \(x \leq -3\) и \(x \geq a\). Пересечение этих множеств — это все числа \(x\), которые одновременно меньше или равны \(-3\) и больше или равны \(a\). Чтобы такое множество не было пустым, \(a\) не должно быть больше \(-3\), иначе не найдётся числа, удовлетворяющего обоим условиям. Следовательно, решение существует при \(a \leq -3\).

В четвёртом случае множества заданы условиями \(x \geq 1\) и \(x \leq a\). Для пересечения необходимо, чтобы существовало число \(x\), которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно \(a\). Если \(a\) будет меньше 1, то таких чисел не найдётся, и пересечение будет пустым. Значит, условие существования решения — \(a \geq 1\).