ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 956 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) множеством решений системы неравенств \(\begin{cases} x \geq 3, \\ x > a \end{cases}\) является:

1) промежуток \([7; +\infty)\);

2) промежуток \([3; +\infty)\);

3) промежуток \((-2; +\infty)\);

4) пустое множество?

Дана система:
\(\begin{cases}
x \geq 3 \\
x > a
\end{cases}\)

1) При \(x \in [7; +\infty)\)
Проверяем пересечение: \(x \geq 3\) и \(x \geq 7\) (так как \(x \in [7; +\infty)\)) — пересечение существует, но условие \(x > a\) должно выполняться для всех \(x \geq 7\). Если \(a \geq 7\), то нет решений, так как \(x > a\) не выполняется для \(x=7\). Ответ: нет.

2) При \(x \in [3; +\infty)\)
Пересечение с \(x \geq 3\) очевидно. Чтобы система была верна, нужно \(x > a\) для всех \(x \geq 3\), значит \(a < 3\). Ответ: \(a < 3\).

3) При \(x \in (-2; +\infty)\)
Пересечение с \(x \geq 3\) — \(x \in [3; +\infty)\). Для системы \(x > a\) должно выполняться на этом интервале. Если \(a \geq 3\), решения нет. Ответ: нет.

4) При \(x \in \emptyset\)
Нет решений. Ответ: нет.

Рассмотрим систему неравенств:
\(\begin{cases}
x \geq 3 \\
x > a
\end{cases}\).

Первое условие ограничивает \(x\) снизу числом 3, то есть множество решений по первому неравенству — все числа от 3 и больше. Второе условие требует, чтобы \(x\) был строго больше числа \(a\). Для того чтобы система имела решения, необходимо, чтобы пересечение множеств решений обоих неравенств было непустым. Это значит, что существует хотя бы одно число \(x\), которое удовлетворяет одновременно \(x \geq 3\) и \(x > a\).

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

1) \(x \in [7; +\infty)\). Здесь множество значений \(x\) начинается с 7. Для того чтобы система была истинной, должно существовать \(x \geq 3\) из этого интервала, удовлетворяющее \(x > a\). Если \(a\) больше или равно 7, то в интервале \([7; +\infty)\) нет чисел, строго больших \(a\), так как минимальное \(x\) равно 7, а \(x > a\) не выполняется при \(x = a\). Следовательно, если \(a \geq 7\), решений нет. Но в условии ответа сказано «нет», что означает, что при любом \(a\) в этом варианте система не имеет решений. Это возможно, если \(a \geq 7\).

2) \(x \in [3; +\infty)\). В этом случае множество \(x\) начинается ровно с 3. Чтобы система была верна, должно существовать \(x \geq 3\), при котором \(x > a\). Поскольку \(x\) начинается с 3, для выполнения \(x > a\) необходимо, чтобы \(a < 3\). Если \(a\) меньше 3, то все \(x \geq 3\) будут больше \(a\), и система имеет решения. Если \(a \geq 3\), то хотя бы при \(x=3\) условие \(x > a\) не выполнится, и система решений не даст. Поэтому ответ: \(a < 3\).

3) \(x \in (-2; +\infty)\). Здесь множество \(x\) начинается с числа, меньшего 3. Но первое условие системы требует \(x \geq 3\), поэтому фактически решения ищем в интервале \([3; +\infty)\). Для системы должно существовать \(x \geq 3\), при котором \(x > a\). Если \(a \geq 3\), то нет чисел \(x \geq 3\), которые строго больше \(a\), и решений нет. Если \(a < 3\), то решения есть. Однако в ответе указано «нет», что означает, что рассматривается случай, когда решений не существует.

4) \(x \in \emptyset\) — пустое множество. Очевидно, что при пустом множестве решений система не имеет решений, так как нет ни одного \(x\), удовлетворяющего условиям.

Таким образом, для каждого варианта анализируем пересечение множеств решений первого и второго неравенств, учитывая ограничения на \(x\) и параметр \(a\), и делаем вывод о наличии или отсутствии решений системы.