ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 968 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(c\) график функции \(y=x^2-6x+c\):

1) проходит через начало координат;

2) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

3) пересекает ось ординат в точке \(A(0;-4)\);

4) пересекает ось абсцисс в точке \(B(2;0)\)?

1) \( y(0) = 0^2 — 6 \cdot 0 + c = c = 0 \)
\( c = 0 \)

2) \( (x — a)^2 = x^2 — 2ax + a^2 \),
\( x^2 — 6x + c = x^2 — 2ax + a^2 \),
\( -2a = -6 \), \( a = 3 \),
\( c = a^2 = 3^2 = 9 \)
\( c = 9 \)

3) \( y(0) = 0^2 — 6 \cdot 0 + c = c = -4 \)
\( c = -4 \)

4) \( y(2) = 2^2 — 6 \cdot 2 + c = 4 — 12 + c = c — 8 = 0 \),
\( c = 8 \)

Рассмотрим подробнее каждый из четырёх пунктов, связанных с определением параметра \(c\) в квадратичной функции \(y = x^2 — 6x + c\).

В первом случае дано, что график функции проходит через начало координат, то есть точку с координатами \( (0; 0) \). Это означает, что при \(x = 0\) значение функции \(y\) равно нулю. Подставим эти значения в уравнение функции: \(y = 0^2 — 6 \cdot 0 + c\). При этом получаем \(0 = 0 — 0 + c\), что упрощается до \(0 = c\). Таким образом, параметр \(c\) равен нулю. Этот вывод логичен, поскольку свободный член \(c\) в квадратном уравнении задаёт значение функции при \(x = 0\), то есть точку пересечения графика с осью ординат.

Во втором пункте рассматривается ситуация, когда график касается оси абсцисс в одной единственной точке. Это означает, что уравнение \(x^2 — 6x + c = 0\) имеет ровно один корень. Для квадратного уравнения количество корней определяется дискриминантом \(D\), который вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c\) — искомый параметр. Подставим значения: \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot c = 36 — 4c\). Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю, то есть \(36 — 4c = 0\). Решая это уравнение, получаем \(4c = 36\), откуда \(c = \frac{36}{4} = 9\). Следовательно, если график касается оси абсцисс, параметр \(c\) равен 9.

В третьем пункте сказано, что график пересекает ось ординат в точке \(A(0; -4)\). Пересечение с осью ординат происходит при \(x = 0\), поэтому значение функции в этой точке равно \(y = c\). Подставим \(x = 0\) в уравнение: \(y = 0^2 — 6 \cdot 0 + c = c\). По условию \(y = -4\), значит \(c = -4\). Это соответствует тому, что свободный член \(c\) отвечает за точку пересечения с осью ординат, и здесь он равен \(-4\).

В четвёртом пункте рассматривается пересечение графика с осью абсцисс в точке \(B(2; 0)\). Это означает, что при \(x = 2\) значение функции равно нулю: \(y = 0\). Подставим \(x = 2\) в уравнение: \(0 = 2^2 — 6 \cdot 2 + c = 4 — 12 + c = -8 + c\). Отсюда следует \(c = 8\). Таким образом, чтобы график проходил через точку \( (2; 0) \), параметр \(c\) должен быть равен 8.

Таким образом, для каждого условия значение параметра \(c\) определяется исходя из конкретных координат точки пересечения графика с осями координат или из свойства касания оси абсцисс. В каждом случае подстановка известных координат в уравнение функции позволяет найти нужное значение \(c\), что даёт полное понимание зависимости параметра от геометрических свойств графика.