ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 972 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Значение квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\) в точке \(x=-1\) равно 0, а при \(x=-2\) функция принимает наименьшее значение, равное \(-3\). Найдите коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\).

\(y = ax^{2} + bx + c\)

\(y(-1) = a — b + c = 0\)

Вершина: \(x = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{4}\), значит \(b = -\frac{a}{2}\)

\(a + \frac{a}{2} + c = 0\), значит \(c = -\frac{3a}{2}\)

\(y_{0} = \frac{a}{16} + \frac{b}{4} + c = -\frac{25}{8}\)

\(\frac{a}{16} + \frac{-a}{8} — \frac{3a}{2} = -\frac{25}{8}\)

\(\frac{a}{16} — \frac{2a}{16} — \frac{24a}{16} = -\frac{25}{8}\)

\(-\frac{25a}{16} = -\frac{25}{8}\)

\(a = 2\)

\(b = -1\)

\(c = -3\)

Функция задана в общем виде: \( y = ax^2 + bx + c \). Для определения коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \) нам даны два условия: функция проходит через точку \((-1; 0)\) и вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{1}{4}; -\frac{25}{8}\right)\).

Первое условие означает, что при \( x = -1 \) значение функции равно нулю. Подставим это в уравнение функции: \( a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \). Отсюда получаем уравнение \( a — b + c = 0 \). Это первое уравнение, связывающее три неизвестных коэффициента.

Второе условие связано с вершиной параболы. Вершина квадратичной функции находится в точке \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Из условия известно, что \( x_0 = \frac{1}{4} \), значит \( -\frac{b}{2a} = \frac{1}{4} \), откуда \( b = -\frac{a}{2} \). Это выражение позволяет выразить \( b \) через \( a \).

Зная координату вершины по оси \( x \), подставим её в уравнение функции, чтобы найти отношение между \( a \) и \( c \). Значение функции в вершине \( y_0 = a\left(\frac{1}{4}\right)^2 + b\frac{1}{4} + c = -\frac{25}{8} \). Подставляя \( b = -\frac{a}{2} \), получаем \( \frac{a}{16} — \frac{a}{8} + c = -\frac{25}{8} \), что упрощается до \( -\frac{a}{16} + c = -\frac{25}{8} \).

Из первого уравнения \( a — b + c = 0 \), подставляя \( b = -\frac{a}{2} \), получаем \( a + \frac{a}{2} + c = 0 \), откуда \( c = -\frac{3a}{2} \). Подставляем это значение \( c \) в уравнение вершины: \( -\frac{a}{16} — \frac{3a}{2} = -\frac{25}{8} \). Приводя к общему знаменателю, получаем \( -\frac{25a}{16} = -\frac{25}{8} \), откуда следует \( a = 2 \).

Имея значение \( a \), вычисляем остальные коэффициенты: \( b = -\frac{a}{2} = -1 \) и \( c = -\frac{3a}{2} = -3 \). Таким образом, все коэффициенты функции найдены: \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \).